質問＜１５０５＞２００３／１１／２９
from=takashi
「ベクトル解析」

根本的なことかもしれませんが、曲線の長さを求める問題です。

曲線ｒ＝ｒ（ｔ）のｔ＝aからｔ＝ｂまでの曲線の長さを求める。
この曲線の長さを⊿Siの折れ線にｎ分割します。
そうすると弧ABの長さLはΣ(i=1,n)⊿Siで与えられる。
この分割数ｎを無限大にすると、
⊿Siは無限に小さくなり弧長と折れ線が等しくなるから、
Lは次式で与えられる。

　　L＝lim(n→∞）Σ（i=1,n)⊿Si

⊿S=｜⊿r｜＝｜r(t+⊿t)-r(t)｜
ｎ→∞で⊿t→∞になる。

したがって、
L＝lim(n→∞）Σ（i=1,n)(⊿Si/⊿t)*⊿t
 ＝∫(a,b) （ds/dt)*dt

 こういう解説なのですが、２行上の式から理解できません。
(⊿Si/⊿t)*⊿tはどういう意味でしょうか？
そして、最後の式で、（ds/dt)*dtと微分形にした理由はなぜでしょうか？
どなたか、解説してもらえないでしょうか・・・

お便り２００３／１２／２２
from=juin

r(t)=(x(t),y(t))とする。
ΔSi=√(x(t+(i+1)Δt)-x(t+iΔt))^2+(y(t+(i+1)Δt)-y(t+iΔt))^2
ΔSi/Δt
=√{(x(t+(i+1)Δt)-x(t+iΔt))/Δt}^2+{(y(t+(i+1)Δt)-y(t+iΔt))/Δt}^2
=√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2　（平均値の定理）

Σ(ΔSi/Δt)*Δt->∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt（積分の定義）
となる。