質問<1505>2003/11/29
根本的なことかもしれませんが、曲線の長さを求める問題です。 曲線r=r(t)のt=aからt=bまでの曲線の長さを求める。 この曲線の長さを⊿Siの折れ線にn分割します。 そうすると弧ABの長さLはΣ(i=1,n)⊿Siで与えられる。 この分割数nを無限大にすると、 ⊿Siは無限に小さくなり弧長と折れ線が等しくなるから、 Lは次式で与えられる。 L=lim(n→∞)Σ(i=1,n)⊿Si ⊿S=|⊿r|=|r(t+⊿t)-r(t)| n→∞で⊿t→∞になる。 したがって、 L=lim(n→∞)Σ(i=1,n)(⊿Si/⊿t)*⊿t =∫(a,b) (ds/dt)*dt こういう解説なのですが、2行上の式から理解できません。 (⊿Si/⊿t)*⊿tはどういう意味でしょうか? そして、最後の式で、(ds/dt)*dtと微分形にした理由はなぜでしょうか? どなたか、解説してもらえないでしょうか・・・
お便り2003/12/22
from=juin
r(t)=(x(t),y(t))とする。 ΔSi=√(x(t+(i+1)Δt)-x(t+iΔt))^2+(y(t+(i+1)Δt)-y(t+iΔt))^2 ΔSi/Δt =√{(x(t+(i+1)Δt)-x(t+iΔt))/Δt}^2+{(y(t+(i+1)Δt)-y(t+iΔt))/Δt}^2 =√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 (平均値の定理) Σ(ΔSi/Δt)*Δt->∫√{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt(積分の定義) となる。