質問

中3のノビッタと言います。
高校数学とは言えない問題かもしれませんが、
初めて質問させてもらいます。

問題は、
「20≦A≦B≦39を満たす整数A、Bがある。
考えられるAとBの積は何通りあるか」
というものです。
私の友人が出した問題なのですが、さっぱり解き方が分からず、
しかも何故か、問題を出した張本人も分からないと言うのです。
解き方を教えて下さい。

お便り２００３／１２／２６
from=juin

A=20のとき、20≦B≦39だから、２０通り。
A=21のとき、21≦B≦39だから、１９通り。
A=22のとき、22≦B≦39だから、１８通り。
、、、
A=39のとき、39≦B≦39だから、１とおり。
合計1+2+3+...+20=210通り。

お便り２００３／１２／２７
from=ニースケンス

20*33 = 22*30 = 660
のような重複分を引かなければならないのでは？

お便り２００３／１２／２７
from=ノビッタ

度々すみません。
juinさんのやり方は分かりやすくて有難いのですが、
アドバイス通りのやり方でやると重複してしまうんです。
(20×30=24×25など)
この重複する分だけ、210から引けば良いのは分かってるんですが、
どうやったら見分けられるのでしょうか。
いちいち素因数分解しなければいけないのでしょうか…。

お便り２００４／２／５
from=ノビッタ

質問して1ヶ月以上経ったんですが、
未だに解決されていないので、改めて質問します。

問題は、
20≦A≦B≦39を満たす整数A、Bがある。
考えられるAとBの積は何通りあるか。
但し、20×33=22×30などの重複分を引くこと。
(つまり、20+19+18+…では求められない。)

ざっと、全て書いてみて答えを出したんですが、
やり方が分からないので質問しています…。

お願いします。

お便り２００４／２／６
from=Tetsuya Kobayashi

400　420　440　441　460　462　480　483　484　500
504　506　520　525　528　529　540　546　550　552
560　567　572　575　576　580　588　594　598　600
609　616　620　621　624　625　630　638　640　644
648　650　651　660　667　672　675　676　680　682
690　693　696　700　702　704　713　714　720　725
726　728　729　735　736　740　744　748　750　754
756　759　760　768　770　775　777　780　782　783
784　792　798　800　805　806　810　812　814　816
819　825　828　832　836　837　840　841　850　851
858　864　868　870　874　875　884　888　891　896
897　899　900　910　912　918　924　925　928　930
936　945　950　952　957　960　961　962　972　975
980　986　988　990　992　999　1008　1014　1015
1020　1023　1024　1026　1036　1044　1050　1053
1054　1056　1064　1073　1080　1085　1088　1089
1092　1102　1110　1116　1120　1122　1131　1140
1147　1152　1155　1156　1170　1178　1184　1188
1190　1209　1216　1221　1224　1225　1248　1254
1258　1260　1287　1292　1295　1296　1326　1330
1332　1365　1368　1369　1404　1406　1443　1444
1482　1521
以上、197通り。
このくらいだったら手計算でもできますよね♪

え、どうやって解くかって？そりゃ質問者もお分かりのように、
210 から重複してるやつを引けばいいんだけど、問題はその重複してる
やつってのをいかに効率よく求めるか、なんだよね。
a*b = c*d のとき、a:c = d:b ってのはいいよね。
比が等しいときに内側かける内側は外側かける外側、ってのは小学校の時に
教わったテクニックだもんね。これを利用するんだ。
まず、c:a = b:d でもあるから、a≦c としても一般性は失われないよね。
さらに a:d = c:b でもあるから a:c = d:b で c≦d としても一般性は
失われないよね。
値の候補の最大値である 39 は、値の候補の最小値である 20 の二倍より
小さいから、c/a＜sqrt(2) となっていることがわかるかな？
そこで既約の形にして a:c = p:q として、
p が小さいものから、その中で q が小さいものから調べてみることにしよう。
p=q=1 では a=d, c=b となって重複していることにならないことに注意して、
  p:q = 2:3 のとき、
    (20,30),(22,33),(24,36),(26,39)
  p:q = 3:4 のとき、
    (21,28),(24,32),(27,36)
  p:q = 4:5 のとき、
    (20,25),(24,30),(28,35)
  p:q = 5:6 のとき、
    (20,24),(25,30),(30,36)
  p:q = 5:7 のとき、
    (20,28),(25,35)
  p:q = 6:7 のとき、
    (24,28),(30,35)
さて、p≧7 のとき、39/7=5.57... となるから、
(r,s) 形式の r 同士の比を既約の形にしたとき、大きい方の値は 5 以下になる。
よってこの場合には上に列挙したいずれかに還元されてしまうことに注意しよう。
これから実際に、どの積同士が一致するのか書き下してみよう。
  p:q = 2:3 のとき、
    20*33 = 22*30
    20*36 = 24*30
    20*39 = 26*30
    22*26 = 24*33
    22*39 = 26*33
    24*39 = 26*36
  p:q = 3:4 のとき、
    21*32 = 24*28
    21*36 = 27*28
    24*36 = 27*32
  p:q = 4:5 のとき、
    20*30 = 24*25
    20*35 = 25*28
    24*35 = 28*30
  p:q = 5:6 のとき、
    20*30 = 24*25 だけど、これは既出。
    20*36 = 24*30 だけど、これは既出。
    25*36 = 30*30
あとは既出。
これらで、三つ以上が等しい値になっていることはないことは目で確かめられる
ので、結局重複は13個。
だから求める値は 210-13 = 197 ってことだね。

お便り２００４／２／１０
from=ノビッタ

おかげで良く分かりました。
分かりやすく解説していただき、
ありがとうございました。