質問＜１５７３＞２００４／１／２７
from=lia
「二項定理」

ＲｎＣｒ＝Ｎｎ-1Ｃｒ-1を用いて０×ｎＣ0＋１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎって
どういうふうに考えるべきなんでしょうか？？
あと、Fermatの定理というもの、二項定理とどんなふうにからんでくるの
でしょうか？？ 
割り切れることを示す証明とか…

お便り２００４／２／１
from=こんにちは

０×ｎＣ0＋１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎの値の求め方

0×ｎＣ0＋１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎは
R×ｎＣｒ＝n×(n-1)Ｃ(r-1)より
0×ｎＣ0＋１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎ
＝１×ｎＣ1＋…ｎ×ｎＣｎ
＝n(ｎ-1Ｃ0＋ｎ-1Ｃ1+…+ｎ-1Ｃn-1)
＝n×2^n
ですね。

二項定理とフェルマーの定理との関連

たぶんこの場合の「フェルマーの定理」とは
「pを素数、kをpで割り切れない自然数とするとき、
k^(p-1)-1はpで割り切れる。」…※
という定理のことでしょうか。

二項定理をつかえば、
「pを素数、kを自然数とするとき、k^p-kはpで割り切れる。」…＊

ことが数学的帰納法で示せます。

証明

k＝1のとき

1^p－1＝１－１＝0はpで割り切れるので「＊」は正しい

k＝hのとき

「＊」は正しい、つまりh^p－hは素数pで割り切れると仮定する。

(h＋1)^p－(h＋1)
＝h^p－h＋pC(p-1)×h^(p-1)+pC(p-2)×h^(p-2)+…+(pC1)×h

1≦r≦p-1なる任意のrに対して
pCr＝{p×(p-1)×…×(p-r+1)}/(1×2×…×r)
分子がpで割り切れる、かつ分母がpと互いに素なので
pCrはpで割り切れます。

よって、
pC(p-1)×h^(p-1)+pC(p-2)×h^(p-2)+…+(pC1)×hはpで割り切れます。

また帰納法の仮定よりh^p-hはpで割り切れます。

よって、
(h＋1)^p－(h＋1)
＝h^p－h＋pC(p-1)×h^(p-1)+pC(p-2)×h^(p-2)+…+(pC1)×h
もpで割り切れます。

k＝h+1のときも「＊」は正しい。

よって数学的帰納法により「＊」は正しい。

「＊」が正しければ、「※」が正しいことの証明

「＊」よりk^p－k＝k×{k^(p－1)－1}はpで割り切れる。
kとpは互いに素だから、k^(p－1)－1はpで割り切れる。
よって「※」が正しいことが示された。