質問<1692>2004/5/7
はじめてメールさせていただきます。 まったくとっかかりも掴めず、悪戦苦闘しておりまして、 なんとかアドバイスのほうよろしくおねがいします。 今、命題・集合について勉強しているのですが、 Aが正しいときBは必ず正しい。 しかしBが正しいときにAも正しいわけではない ・・・等の問題に苦戦しております。 例えば、 1)1ヶ月に1回以上オーケストラのコンサートに行く人の中には、 1ヶ月に1回以上オペラのコンサートに行く人がいる。 2)1ヶ月に1回以上オペラを鑑賞する人はみな、 1ヶ月に1回以上オーケストラのコンサートに行く。 といった問題で Aが正しいときBは・・・などの解答がうまく導き出せません。 どうかよろしくお願いします。
お便り2004/5/7
from=wakky
1ヶ月に1回以上オーケストラのコンサートに行く人の集合をPとしましょう。 『その中には』には1ヶ月に1回以上オペラのコンサートに行く人がいる。 これを集合Rとしましょう。 この命題が「真」である・・つまり例外なく正しいという前提で考えると。 『その中には』ということですから、 R⊆PつまりRはPの部分集合 「R要素(人)のすべてはPに含まれる(二つの集合が等しい場合も含む)」 となります。 つまり、Rに属する人は、必ずPに属することになります。 従って、 「この場合(この命題が真である場合)」 一ヶ月に1回以上オペラ鑑賞をする人=Rの要素はPに含まれますから、 必ず月に1回以上オーケストラのコンサートに行っていることになります。 男子高校生はサッカーが好きである。 この命題が「真」であるとは、男子高校生なら「例外なく」サッカーが好きだ ということです。 もし、ひろし君がサッカーが嫌いなら・・・ つまりサッカーが嫌いな男子高校生が一人でも居たら、 この命題は「真」ではない。つまり「偽」であるといいます。 そして、ひろし君はこの命題の「反例」と言います。 次の命題はどうでしょうか? ★A=10かつB=10ならば A×B=100である。 これは小学生でも分かるように、この命題は「真」です。 A×B=100 ならば A=10かつB=10である。 (これを命題★の逆といいます) これは必ずしもそうではないのはすぐわかりますね。 A=20,B=5 でもいいわけです。つまりこれが反例です。 A×B=100でないならば、A=10かつB=10ではない・・・ はどうでしょうか? これは常になりたちますね。 これを命題★の対偶と言って、 ある命題が「真」のときその命題の対偶は「真」となります。 さらに、今後学ぶと思いますが、 必要条件、十分条件、必要十分条件(ここでは割愛しますが)は、 問題を解く上で重要になることがあります。 恒等式の係数決定における「数値代入法」は必要条件に過ぎませんから、 逆証して十分条件であることを示して初めて解決となります。 係数比較法においては、そのものが必要かつ十分条件なので逆証の必要は ありません・・・などこれから様々な問題に直面すると思います。 なんか長々と書いてしまいました(笑)失礼しました。