質問

はじめてメールさせていただきます。
まったくとっかかりも掴めず、悪戦苦闘しておりまして、
なんとかアドバイスのほうよろしくおねがいします。
今、命題・集合について勉強しているのですが、

Aが正しいときBは必ず正しい。
しかしBが正しいときにAも正しいわけではない
・・・等の問題に苦戦しております。

例えば、
１）１ヶ月に１回以上オーケストラのコンサートに行く人の中には、
　　１ヶ月に１回以上オペラのコンサートに行く人がいる。

２）１ヶ月に１回以上オペラを鑑賞する人はみな、
　　１ヶ月に１回以上オーケストラのコンサートに行く。

といった問題で
Aが正しいときBは・・・などの解答がうまく導き出せません。
どうかよろしくお願いします。

お便り２００４／５／７
from=wakky

１ヶ月に１回以上オーケストラのコンサートに行く人の集合をＰとしましょう。

『その中には』には１ヶ月に１回以上オペラのコンサートに行く人がいる。
これを集合Ｒとしましょう。

この命題が「真」である・・つまり例外なく正しいという前提で考えると。

『その中には』ということですから、
Ｒ⊆ＰつまりＲはＰの部分集合
「Ｒ要素（人）のすべてはＰに含まれる（二つの集合が等しい場合も含む）」
となります。

つまり、Ｒに属する人は、必ずＰに属することになります。

従って、
「この場合（この命題が真である場合）」
一ヶ月に１回以上オペラ鑑賞をする人＝Ｒの要素はＰに含まれますから、
必ず月に１回以上オーケストラのコンサートに行っていることになります。

男子高校生はサッカーが好きである。
この命題が「真」であるとは、男子高校生なら「例外なく」サッカーが好きだ
ということです。
もし、ひろし君がサッカーが嫌いなら・・・
つまりサッカーが嫌いな男子高校生が一人でも居たら、
この命題は「真」ではない。つまり「偽」であるといいます。
そして、ひろし君はこの命題の「反例」と言います。

次の命題はどうでしょうか？

★Ａ＝１０かつＢ＝１０ならば Ａ×Ｂ＝１００である。
これは小学生でも分かるように、この命題は「真」です。

Ａ×Ｂ＝１００ ならば Ａ＝１０かつＢ＝１０である。
（これを命題★の逆といいます）
これは必ずしもそうではないのはすぐわかりますね。
Ａ＝２０，Ｂ＝５ でもいいわけです。つまりこれが反例です。

Ａ×Ｂ＝１００でないならば、Ａ＝１０かつＢ＝１０ではない・・・
はどうでしょうか？
これは常になりたちますね。
これを命題★の対偶と言って、
ある命題が「真」のときその命題の対偶は「真」となります。

さらに、今後学ぶと思いますが、
必要条件、十分条件、必要十分条件（ここでは割愛しますが）は、
問題を解く上で重要になることがあります。

恒等式の係数決定における「数値代入法」は必要条件に過ぎませんから、
逆証して十分条件であることを示して初めて解決となります。
係数比較法においては、そのものが必要かつ十分条件なので逆証の必要は
ありません・・・などこれから様々な問題に直面すると思います。

なんか長々と書いてしまいました（笑）失礼しました。