質問＜１７３６＞２００４／６／１１
from=たっち
「数列の極限」

（１）
a>1のとき、lim(n→∞)a^(1/n)=1
をはさみうちを使わずに
（ワイエルストラスの定理などで）証明する方法を教えてください。

（２）
a>1のとき、lim(n→∞)a^(1/n)=1
を二項定理を使わずに
（ワイエルストラスの定理などを使って）証明する方法がわからないので
教えていただけませんか。

お便り２００４／６／１８
from=BossF

 ワイエルストラス＝Weierstrass＝「有界な数列は極限を持つ」 で
いいのかしら？
（私、数学は高校までしか習ってないので、自信なし（＾０＾）
そのつもりで解きますね
 
さて証明  
 
a＞1 なら明らかに a^(1/n)＞1かつ a^(1/n)＞a^(1/n+1)
よって｛a^(1/n)｝は単調減少で、下界として1をもつ
したがって、｛a^(1/n)｝は α(≧1)なる極限値を持つ
 
ここで α＞1なら 
α-1＞h＞0 なる h が存在し
｛a^(1/n)｝＞ α＞h+1 
すなわち ｛a^(1/n)｝＞ｈ+1 をみたすから
a＞(h+1)^n
ところが、n→∞で右辺は発散するから矛盾
 
よって α＝1　■
 
こんなんでどうでしょうか？