質問<1736>2004/6/11
(1) a>1のとき、lim(n→∞)a^(1/n)=1 をはさみうちを使わずに (ワイエルストラスの定理などで)証明する方法を教えてください。 (2) a>1のとき、lim(n→∞)a^(1/n)=1 を二項定理を使わずに (ワイエルストラスの定理などを使って)証明する方法がわからないので 教えていただけませんか。
お便り2004/6/18
from=BossF
ワイエルストラス=Weierstrass=「有界な数列は極限を持つ」 で いいのかしら? (私、数学は高校までしか習ってないので、自信なし(^0^) そのつもりで解きますね さて証明 a>1 なら明らかに a^(1/n)>1かつ a^(1/n)>a^(1/n+1) よって{a^(1/n)}は単調減少で、下界として1をもつ したがって、{a^(1/n)}は α(≧1)なる極限値を持つ ここで α>1なら α-1>h>0 なる h が存在し {a^(1/n)}> α>h+1 すなわち {a^(1/n)}>h+1 をみたすから a>(h+1)^n ところが、n→∞で右辺は発散するから矛盾 よって α=1 ■ こんなんでどうでしょうか?