質問＜１７６＞９９／９／１３
from=mebius
「屈折ベクトルの求め方」

　屈折前のベクトルＥ(単位ベクトル)
　法線ベクトルＮ(単位ベクトル)
　物体１の屈折率n1、２の屈折率n2

　上記４要素を用いて　
　屈折後のベクトルＥ'を求める。

  スネルの法則により
　n1・sinθ1 = n2・sinθ2  

　θ1...入射角
　θ2...屈折角
　cosθ1 = -E ・N
　cosθ2 = -E'・N

  sinθ1 = | E + Ncosθ1 | 
  sinθ2 = | E'+ Ncosθ2 |

  E,E'は同方向なので絶対値記号"|"を外せる。

　上記法則に代入しE'について整理すると、

  E' =
   (n1/n2)( E - N(√((n2/n1)^2-1+cos^2θ1)-cosθ1))

     =
   (n1/n2)( E - N(n・cosθ2-cosθ1) )

  と変形することができる。  
      
 　と、とある書籍には掲載されているのですが、
　冒頭にある４要素のみでここまで変形させることが
　できず困っています。
　 cosθ2の扱いをどうにか変形できればと思い
　公式集も隅々まで調べたのですが手がかりは得られま
　せんでした。
　　何か特殊な変形方法があるのでしょうか？

お返事９９／９／１４
from=武田

　sinθ2 = | E'+ Ncosθ2 |より、
絶対値記号がとれて、
　sinθ2 =  E'+ Ncosθ2
　E'＝sinθ2－ Ncosθ2……(1)
スネルの法則により
　n1・sinθ1 = n2・sinθ2  
　sinθ2＝（n1/n2）・sinθ1
(1)に代入して、
　E'＝（n1/n2）・sinθ1－ Ncosθ2……(2)
　sinθ1 = | E + Ncosθ1 | より、
絶対値記号がとれて、
　sinθ1 =  E + Ncosθ1
(2)に代入して、
　E'＝（n1/n2）・（E ＋ Ncosθ1）－ Ncosθ2……(3)
cos2θ2＝１－sin2θ2
スネルの法則により
　sinθ2＝（n1/n2）・sinθ1を代入して、
cos2θ2＝１－（n1/n2）2・sin2θ1
平方根を取って、
cosθ2＝√（１－（n1/n2）2・sin2θ1）
(3)に代入して、
　E'＝(n1/n2)・(E＋Ncosθ1)－N√{１－(n1/n2)2・sin2θ1}
　　＝(n1/n2)・(E＋Ncosθ1)－N(n1/n2)√{(n2/n1)2－sin2θ1}
　　＝(n1/n2)・(E－N(√{(n2/n1)2－sin2θ1}－cosθ1））
sin2θ1=１－cos2θ1と置き換えて、
　E'＝(n1/n2)・(E－N(√{(n2/n1)2－１＋cos2θ1}－cosθ1））

(3)より
　E'＝（n1/n2）・｛E ＋ Ncosθ1－（n2/n1）Ncosθ2｝
　　＝（n1/n2）・｛E －Ｎ（（n2/n1）cosθ2－cosθ1）｝
（n2/n1）＝ｎとおくと、
　E'＝（n1/n2）・｛E －Ｎ（ｎ・cosθ2－cosθ1）｝

以上の変形ができます。
ウィレブロルド・スネル（オランダ、1581～1626）が光の屈折現象の
観察から見つけた屈折の法則は有名な法則ですね。
　n1・sinθ1 = n2・sinθ2