質問

　先日はお答え頂き、誠にありがとうございます。
　お蔭様で屈折ベクトルを求める過程が理解・把握できました。
　再び質問で申し訳無いのですが、よろしくお願いします。

　フレネルの公式(Fresnel Fomula)

  (1/2){ sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2)
       - tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2) }
  
  というものがあり（※一部訂正がありました）

  とある書籍には

　括弧内の第一項及び第二項を次のように変形できると
　あります。

　sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2)
　　　→ (n・cosθ2-cosθ1)/(n・cosθ2+cosθ1) 

　tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2)
　　　→ (n・cosθ1-cosθ2)/(n・cosθ1+cosθ2)

  ここで n = n2/n1
  (スネルの法則 n1・sinθ1 = n2・sinθ2 
　 を用いるみたいです)
   
  ここで前者については、三角関数の加法定理と
　スネルの法則を用いると記載されていた式と
　同じものに変形させることができましたが、
　後者が上手く変形できず悩んでいます。
　
　また、sin( θ1 - θ2 ) で
　　sinθ1-sinθ2という展開方法は誤っているので
　しょうか？
　　sin( θ1 - θ2 )ときた場合、
　必ず加法定理に基づき
　　sinθ1cosθ2-cosθ1sinθ2 
　と展開せねばならないのでしょうか？
　
　前述の変形過程、後述の概念（理由？）について
　ご教授お願いします。

お返事９９／９／１８
from=武田

　フレネルの公式(Fresnel Fomula)

  (1/2){ sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2)
       - tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2) }

　括弧内の第一項及び第二項は

　sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2)
　　　→ (n・cosθ2-cosθ1)/(n・cosθ2+cosθ1) 

　tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2)
　　　→ (n・cosθ1-cosθ2)/(n・cosθ1+cosθ2)

となるそうですが、第一項が、
　　sin（θ1－θ2）　sinθ1cosθ2－cosθ1sinθ2
Ａ＝───────＝──────────────
　　sin（θ1＋θ2）　sinθ1cosθ2＋cosθ1sinθ2

スネルの法則 sinθ1 = ｎ・sinθ2より
　　ｎ・sinθ2cosθ2－cosθ1sinθ2
Ａ＝───────────────
　　ｎ・sinθ2cosθ2＋cosθ1sinθ2

　　sinθ2（ｎ・cosθ2－cosθ1）
　＝──────────────
　　sinθ2（ｎ・cosθ2＋cosθ1）
約分して
　　ｎ・cosθ2－cosθ1
Ａ＝─────────
　　ｎ・cosθ2＋cosθ1
ということで、右辺になります。

また、第二項の変形は難しくお手上げでしたが、
出張の際、退屈な発表に飽きた私はこの問題にチャレンジし
てみました。
すると、アイデアがフッと浮かんできました。
逆向きに考えてみるというアイデアです。
（これは大学入試の問題を解くときに時々使うテクニックです。）

　　(n・cosθ1-cosθ2)　sinθ2(n・cosθ1-cosθ2)
Ｂ＝─────────＝────────────
　　(n・cosθ1+cosθ2)　sinθ2(n・cosθ1+cosθ2)

　　n・sinθ2cosθ1－sinθ2cosθ2
　＝───────────────
　　n・sinθ2cosθ1＋sinθ2cosθ2

スネルの法則 sinθ1 = ｎ・sinθ2より
　　sinθ1cosθ1－sinθ2cosθ2
Ｂ＝─────────────
　　sinθ1cosθ1＋sinθ2cosθ2

分母分子に２を掛けて
　　２sinθ1cosθ1－２sinθ2cosθ2
Ｂ＝───────────────
　　２sinθ1cosθ1＋２sinθ2cosθ2

２倍角の公式　sin２θ＝２sinθcosθより
　　sin２θ1－sin２θ2
Ｂ＝─────────
　　sin２θ1＋sin２θ2
　　　　　　　　　　　　　　　　　α＋β　　α－β
和・差の公式　sinα＋sinβ＝２ sin───・cos───より
　　　　　　　　　　　　　　　　　　２　　　　２
　　２cos｛(２θ1＋２θ2)／２｝sin｛(２θ1－２θ2）／２｝
Ｂ＝──────────────────────────
　　２sin｛(２θ1＋２θ2)／２｝cos｛(２θ1－２θ2）／２｝

　　cos(θ1＋θ2)sin(θ1－θ2）
　＝─────────────
　　sin(θ1＋θ2)cos(θ1－θ2）

　　cos(θ1＋θ2)　　sin(θ1－θ2）
　＝───────・───────
　　sin(θ1＋θ2)　　cos(θ1－θ2）

　　　tan(θ1－θ2)　＝────────
　　　tan(θ1＋θ2)

したがって、この逆の計算をすれば求められる。


質問の２点目のsin( θ1 - θ2 )は、必ず加法定理に基づき
　　sinθ1cosθ2-cosθ1sinθ2 　と展開されます。
これは回転の考えから求めることができます。
Ａ（ｘ1、ｙ1）　→　Ｂ（ｘ2、ｙ2）　→　Ｃ（ｘ3、ｙ3）
　　　　　　　θ１回転　　　　　－θ２回転
（ｘ２）　（cosθ１　－sinθ１）　（ｘ１）
（　　）＝（　　　　　　　　　）・（　　）
（ｙ２）　（sinθ１　　cosθ１）　（ｙ１）

（ｘ３）　（cos（－θ２）　－sin（－θ２））　（ｘ２）
（　　）＝（　　　　　　　　　　　　　　　）・（　　）
（ｙ３）　（sin（－θ２）　　cos（－θ２））　（ｙ２）

したがって、
（ｘ３）　（cos（θ１－θ２）　－sin（θ１－θ２））　（ｘ１）
（　　）＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）・（　　）
（ｙ３）　（sin（θ１－θ２）　　cos（θ１－θ２））　（ｙ１）

行列の積より、
（cos（θ１－θ２）　－sin（θ１－θ２））
（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
（sin（θ１－θ２）　　cos（θ１－θ２））

　（cos（－θ２）　－sin（－θ２））　（cosθ１　－sinθ１）
＝（　　　　　　　　　　　　　　　）・（　　　　　　　　　）
　（sin（－θ２）　　cos（－θ２））　（sinθ１　　cosθ１）

　（　cosθ２　sinθ２）　（cosθ１　－sinθ１）
＝（　　　　　　　　　）・（　　　　　　　　　）
　（－sinθ２　cosθ２）　（sinθ１　　cosθ１）

したがって、
cos（θ１－θ２）＝cosθ２cosθ１＋sinθ２sinθ１
　　　　　　　　 ＝cosθ１cosθ２＋sinθ１sinθ２
sin（θ１－θ２）＝－sinθ２cosθ１＋cosθ２sinθ１
　　　　　　　　 ＝sinθ１cosθ２－cosθ１sinθ２