質問<177>99/9/17
先日はお答え頂き、誠にありがとうございます。 お蔭様で屈折ベクトルを求める過程が理解・把握できました。 再び質問で申し訳無いのですが、よろしくお願いします。 フレネルの公式(Fresnel Fomula) (1/2){ sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2) - tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2) } というものがあり(※一部訂正がありました) とある書籍には 括弧内の第一項及び第二項を次のように変形できると あります。 sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2) → (n・cosθ2-cosθ1)/(n・cosθ2+cosθ1) tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2) → (n・cosθ1-cosθ2)/(n・cosθ1+cosθ2) ここで n = n2/n1 (スネルの法則 n1・sinθ1 = n2・sinθ2 を用いるみたいです) ここで前者については、三角関数の加法定理と スネルの法則を用いると記載されていた式と 同じものに変形させることができましたが、 後者が上手く変形できず悩んでいます。 また、sin( θ1 - θ2 ) で sinθ1-sinθ2という展開方法は誤っているので しょうか? sin( θ1 - θ2 )ときた場合、 必ず加法定理に基づき sinθ1cosθ2-cosθ1sinθ2 と展開せねばならないのでしょうか? 前述の変形過程、後述の概念(理由?)について ご教授お願いします。
お返事99/9/18
from=武田
フレネルの公式(Fresnel Fomula) (1/2){ sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2) - tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2) } 括弧内の第一項及び第二項は sin(θ1-θ2)/sin(θ1+θ2) → (n・cosθ2-cosθ1)/(n・cosθ2+cosθ1) tan(θ1-θ2)/tan(θ1+θ2) → (n・cosθ1-cosθ2)/(n・cosθ1+cosθ2) となるそうですが、第一項が、 sin(θ1-θ2) sinθ1cosθ2-cosθ1sinθ2 A=───────=────────────── sin(θ1+θ2) sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2 スネルの法則 sinθ1 = n・sinθ2より n・sinθ2cosθ2-cosθ1sinθ2 A=─────────────── n・sinθ2cosθ2+cosθ1sinθ2 sinθ2(n・cosθ2-cosθ1) =────────────── sinθ2(n・cosθ2+cosθ1) 約分して n・cosθ2-cosθ1 A=───────── n・cosθ2+cosθ1 ということで、右辺になります。 また、第二項の変形は難しくお手上げでしたが、 出張の際、退屈な発表に飽きた私はこの問題にチャレンジし てみました。 すると、アイデアがフッと浮かんできました。 逆向きに考えてみるというアイデアです。 (これは大学入試の問題を解くときに時々使うテクニックです。) (n・cosθ1-cosθ2) sinθ2(n・cosθ1-cosθ2) B=─────────=──────────── (n・cosθ1+cosθ2) sinθ2(n・cosθ1+cosθ2) n・sinθ2cosθ1-sinθ2cosθ2 =─────────────── n・sinθ2cosθ1+sinθ2cosθ2 スネルの法則 sinθ1 = n・sinθ2より sinθ1cosθ1-sinθ2cosθ2 B=───────────── sinθ1cosθ1+sinθ2cosθ2 分母分子に2を掛けて 2sinθ1cosθ1-2sinθ2cosθ2 B=─────────────── 2sinθ1cosθ1+2sinθ2cosθ2 2倍角の公式 sin2θ=2sinθcosθより sin2θ1-sin2θ2 B=───────── sin2θ1+sin2θ2 α+β α-β 和・差の公式 sinα+sinβ=2 sin───・cos───より 2 2 2cos{(2θ1+2θ2)/2}sin{(2θ1-2θ2)/2} B=────────────────────────── 2sin{(2θ1+2θ2)/2}cos{(2θ1-2θ2)/2} cos(θ1+θ2)sin(θ1-θ2) =───────────── sin(θ1+θ2)cos(θ1-θ2) cos(θ1+θ2) sin(θ1-θ2) =───────・─────── sin(θ1+θ2) cos(θ1-θ2) tan(θ1-θ2) =──────── tan(θ1+θ2) したがって、この逆の計算をすれば求められる。 質問の2点目のsin( θ1 - θ2 )は、必ず加法定理に基づき sinθ1cosθ2-cosθ1sinθ2 と展開されます。 これは回転の考えから求めることができます。 A(x1、y1) → B(x2、y2) → C(x3、y3) θ1回転 -θ2回転 (x2) (cosθ1 -sinθ1) (x1) ( )=( )・( ) (y2) (sinθ1 cosθ1) (y1) (x3) (cos(-θ2) -sin(-θ2)) (x2) ( )=( )・( ) (y3) (sin(-θ2) cos(-θ2)) (y2) したがって、 (x3) (cos(θ1-θ2) -sin(θ1-θ2)) (x1) ( )=( )・( ) (y3) (sin(θ1-θ2) cos(θ1-θ2)) (y1) 行列の積より、 (cos(θ1-θ2) -sin(θ1-θ2)) ( ) (sin(θ1-θ2) cos(θ1-θ2)) (cos(-θ2) -sin(-θ2)) (cosθ1 -sinθ1) =( )・( ) (sin(-θ2) cos(-θ2)) (sinθ1 cosθ1) ( cosθ2 sinθ2) (cosθ1 -sinθ1) =( )・( ) (-sinθ2 cosθ2) (sinθ1 cosθ1) したがって、 cos(θ1-θ2)=cosθ2cosθ1+sinθ2sinθ1 =cosθ1cosθ2+sinθ1sinθ2 sin(θ1-θ2)=-sinθ2cosθ1+cosθ2sinθ1 =sinθ1cosθ2-cosθ1sinθ2