質問<179>99/10/4
前回は、分かりやすい解説有り難うございました。 今回もまた、質問をさせてください。 シンプルな例題(因数分解が苦手です)で数学的帰納法を解 説して頂けませんか? ある式P(n)の成り立つ為にnに1を代入してP(1)を真とする ところは分るのですが、次のステップであるP(k)とP(k+1)を 使った部分が分りません。 よろしくお願いします。
お返事99/10/4
from=武田
質問<8>でも紹介しましたが、 数学的帰納法はドミノ倒し(または将棋倒し)に似た方法 で証明をしています。 前のドミノが倒れたら次のドミノが倒れるように並べてい くやつです。 この証明のミソは、「k番目が成り立つとしたら」と言う 点です。k番とは1番、8番、135番、1000番…と何 でも取れるからです。どこでも良いからk番が成り立つとき、 その次の(k+1)番が成り立てば、ドミノ式に次々に成り 立っていき最終的に全部成り立つことになるからです。 ちなみに「n=1で成り立つ」という初期条件は、ドミノ 倒しの最初の一撃をさしています。 簡単な因数分解の例で紹介してみます。 与式P(n)として、n2-3n+2=(n-1)(n-2)を 数学的帰納法で証明してみましょう。 (1)初期条件n=1のとき、 左辺=12-3・1+2=0 右辺=(1-1)(1-2)=0 ∴左辺=右辺 (2)n=kのとき、次の与式が成り立つと仮定すると、 k2-3k+2=(k-1)(k-2) n=k+1のとき、 左辺=(k+1)2-3(k+1)+2 =k2+2k+1-3k-3+2 =(k2-3k+2)+2k+1-3 =(k-1)(k-2)+2k-2 ↑ ここで、仮定の右辺が挿入される =(k-1)(k-2)+2(k-1) =(k-1){(k-2)+2} =(k-1)k =k(k-1) ={(k+1)-1}{(k+1)-2}=右辺 ∴左辺=右辺 (1)(2)より、すべての自然数nに対して、 与式P(n)が成り立つ。