質問＜１７９＞９９／１０／４
from=integer
「数学的帰納法について教えてください」

前回は、分かりやすい解説有り難うございました。
今回もまた、質問をさせてください。

シンプルな例題（因数分解が苦手です）で数学的帰納法を解
説して頂けませんか？
ある式P(n)の成り立つ為にｎに１を代入してP(1)を真とする
ところは分るのですが、次のステップであるP(k)とP(k+1)を
使った部分が分りません。

よろしくお願いします。

お返事９９／１０／４
from=武田

質問＜８＞でも紹介しましたが、
　数学的帰納法はドミノ倒し（または将棋倒し）に似た方法
で証明をしています。
　前のドミノが倒れたら次のドミノが倒れるように並べてい
くやつです。
　この証明のミソは、「ｋ番目が成り立つとしたら」と言う
点です。ｋ番とは１番、８番、１３５番、１０００番…と何
でも取れるからです。どこでも良いからｋ番が成り立つとき、
その次の（ｋ＋１）番が成り立てば、ドミノ式に次々に成り
立っていき最終的に全部成り立つことになるからです。
　ちなみに「ｎ＝１で成り立つ」という初期条件は、ドミノ
倒しの最初の一撃をさしています。

　簡単な因数分解の例で紹介してみます。
与式P(n)として、ｎ2－３ｎ＋２＝(n-1)(n-2)を
数学的帰納法で証明してみましょう。
（１）初期条件n=1のとき、
左辺＝１2－３・１＋２＝０
右辺＝(1-1)(1-2)＝０
∴左辺＝右辺
（２）n=kのとき、次の与式が成り立つと仮定すると、
ｋ2－３ｋ＋２＝(k-1)(k-2)
n=k+1のとき、
左辺＝(k+1)2－３(k+1)＋２
　　＝ｋ2＋２ｋ＋１－３ｋ－３＋２
　　＝（ｋ2－３ｋ＋２）＋２ｋ＋１－３
　　＝(k-1)(k-2)＋２ｋ－２
　　　　↑
　　　　ここで、仮定の右辺が挿入される
　　＝(k-1)(k-2)＋２(k-1)
　　＝(k-1){(k-2)+2}
　　＝(k-1)k
　　＝k(k-1)
　　＝{(k+1)-1}{(k+1)-2}＝右辺
∴左辺＝右辺
（１）（２）より、すべての自然数ｎに対して、
与式P(n)が成り立つ。