質問＜１８６４＞２００４／８／１５
from=arita
「二直線と定点　　軌跡」

２直線　mx-y+5m=0 , x+my-5=0 について。

（１）この２直線はともにmの値にかかわらずある定点を通る事を示し、その定点
　　　の座標を求めよ。

（２）mが任意の値を取って変化するとき、この２直線の交点の軌跡を求めよ。

解き方のアドバイスだけでもいいので教えてください。よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／８／１５
from=wakky

（１）
直線 ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０ について
ｍ（ｘ＋５）－ｙ＝０ だから
ｍの値に関係なくこの式が成り立つためには
ｘ＋５＝０ かつ ｙ＝０
よって定点（－５，０）を通る。

直線 ｘ＋ｍｙ－５＝０ について
（－ｘ＋５）＋ｍｙ＝０ だから
ｍの値に関係なくこの式が成り立つためには
ｘ＝５ かつ ｙ＝０
よって定点（５，０）を通る。

（２）
２直線の交点だから、単純に連立方程式
ｍｘ－ｙ＋５ｍ＝０・・・①
ｘ＋ｍｙ－５＝０・・・・②
これからｍを消去すれば、ｘとｙの関係が求まりますね。
②からｍ＝（－ｘ＋５）／ｙ （ただしｙ≠０のとき）
これを①に代入して
｛ｘ（－ｘ＋５）／ｙ｝－ｙ＋｛５（－ｘ＋５）／ｙ｝＝０
両辺にｙをかけて整理整頓すると
ｘ^2＋ｙ^2＝２５＝５^2・・・③
（これは中心が原点、半径５の円ですね）
また ｙ＝０ のときは
①より（②でもおなじこと）
ｍ（ｘ＋５）＝０（②ならｘ－５＝０）
ｍは任意の値を取るから
ｘ＝－５（②からならｘ＝５：円なのでｙ＝０のときｘは±５の２つの値を
とることがわかりますね）
点（－５，０）は③上の点である。
以上より 直線①と直線②の交点の軌跡は
中心が原点（０，０）、半径５の円  となります。

お便り２００４／８／１６
from=下野哲史

(1) mx-y+5m=0 は (5+x)m+(-y)=0 である。
　　mの値にかかわらず通るということは
　　どんなmに対しても成り立つ 
　　(x,y) を求めればよい。
　　m についての恒等式と考えて
    5+x=0, (-y)=0 より (x,y)=(-5,0)
　　同様にして
　  x+my-5=0 は ym+(x-5)=0 より
　　y=0 , x-5=0 から (x,y)=(5,0) を必ず通る。

(2) x+my-5=0 は m≠0 ならば
　　　傾きが -1/m の直線
　　mx-y+5m=0 は 傾きが m の直線
　　よって、m≠0 ならば ２直線は常に直交する。
　　これより、(5,0), (-5,0) を直径とする
　　円であることが分かる。
　　ただし、m=0 のとき x+my-5=0 は x=5
　　また mx-y+5m=0 は y=0 であるから
　　(5,0) は通るが、(-5,0) は通らない
　　以上より
　　答え
　　原点を中心とする半径 5 の円周
　　ただし (-5,0) を除く