質問<1864>2004/8/15
2直線 mx-y+5m=0 , x+my-5=0 について。 (1)この2直線はともにmの値にかかわらずある定点を通る事を示し、その定点 の座標を求めよ。 (2)mが任意の値を取って変化するとき、この2直線の交点の軌跡を求めよ。 解き方のアドバイスだけでもいいので教えてください。よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2004/8/15
from=wakky
(1) 直線 mx-y+5m=0 について m(x+5)-y=0 だから mの値に関係なくこの式が成り立つためには x+5=0 かつ y=0 よって定点(-5,0)を通る。 直線 x+my-5=0 について (-x+5)+my=0 だから mの値に関係なくこの式が成り立つためには x=5 かつ y=0 よって定点(5,0)を通る。 (2) 2直線の交点だから、単純に連立方程式 mx-y+5m=0・・・① x+my-5=0・・・・② これからmを消去すれば、xとyの関係が求まりますね。 ②からm=(-x+5)/y (ただしy≠0のとき) これを①に代入して {x(-x+5)/y}-y+{5(-x+5)/y}=0 両辺にyをかけて整理整頓すると x^2+y^2=25=5^2・・・③ (これは中心が原点、半径5の円ですね) また y=0 のときは ①より(②でもおなじこと) m(x+5)=0(②ならx-5=0) mは任意の値を取るから x=-5(②からならx=5:円なのでy=0のときxは±5の2つの値を とることがわかりますね) 点(-5,0)は③上の点である。 以上より 直線①と直線②の交点の軌跡は 中心が原点(0,0)、半径5の円 となります。
お便り2004/8/16
from=下野哲史
(1) mx-y+5m=0 は (5+x)m+(-y)=0 である。 mの値にかかわらず通るということは どんなmに対しても成り立つ (x,y) を求めればよい。 m についての恒等式と考えて 5+x=0, (-y)=0 より (x,y)=(-5,0) 同様にして x+my-5=0 は ym+(x-5)=0 より y=0 , x-5=0 から (x,y)=(5,0) を必ず通る。 (2) x+my-5=0 は m≠0 ならば 傾きが -1/m の直線 mx-y+5m=0 は 傾きが m の直線 よって、m≠0 ならば 2直線は常に直交する。 これより、(5,0), (-5,0) を直径とする 円であることが分かる。 ただし、m=0 のとき x+my-5=0 は x=5 また mx-y+5m=0 は y=0 であるから (5,0) は通るが、(-5,0) は通らない 以上より 答え 原点を中心とする半径 5 の円周 ただし (-5,0) を除く