質問<1863>2004/8/13
△ABCの重心をG、任意の点をPとするとき PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC~2+3PG^2 が成り立つことを証明せよ。
お便り2004/8/14
from=wakky
直線AGと辺BCの交点をDとし、 → → → → → → PA=a,PB=b, PC=c とします。 まず 左辺=PA^2+PB^2+PC^2 → → → =|a|^2+|b|^2+|c|^2・・・① Gは△ABCの重心だから、Dは辺BCの中点になります。 よって → → PD=1/2(b+c) Gは辺ADを2:1に内分する点だから → → → PG=1/3(2PD+a) → → → =1/3(a+b+c) → → → GA=a-PG → → → =1/3(2a-b-c) → → GB=b-PG → → → =1/3(-a+2b-c) → → GC=c-PG → → → =1/3(-a-b+2c) あとは右辺を地道に計算して → → → → 右辺=|GA|^2+|GB|^2+|GC|^2+3|PG|^2 (途中計算省略) → → → =|a|^2+|b|^2+|c|^2・・・② ①②より 左辺=右辺 が証明されました。