質問＜１８６３＞２００４／８／１３
from=1122
「図形」

△ABCの重心をＧ、任意の点をＰとするとき
　　　　PA^2+PB^2+PC^2=GA^2+GB^2+GC~2+3PG^2
が成り立つことを証明せよ。

お便り２００４／８／１４
from=wakky

直線ＡＧと辺ＢＣの交点をＤとし、
 →   →   →   →    →   →
ＰＡ＝ａ，ＰＢ＝ｂ， ＰＣ＝ｃ とします。

まず
左辺＝ＰＡ^2＋ＰＢ^2＋ＰＣ^2
        →        →        → 
    ＝｜ａ｜^2＋｜ｂ｜^2＋｜ｃ｜^2・・・①

Ｇは△ＡＢＣの重心だから、Ｄは辺ＢＣの中点になります。
よって
              →  →
ＰＤ＝１／２（ｂ＋ｃ）
Ｇは辺ＡＤを２：１に内分する点だから
 →              →   →
ＰＧ＝１／３（２ＰＤ＋ａ）
              →  →  →            
    ＝１／３（ａ＋ｂ＋ｃ）
 →   →   → 
ＧＡ＝ａ－ＰＧ
                →  →  →
    ＝１／３（２ａ－ｂ－ｃ）
      →   →
ＧＢ＝ｂ－ＰＧ
                →    →  →
    ＝１／３（－ａ＋２ｂ－ｃ）
      →   →     
ＧＣ＝ｃ－ＰＧ
                →  →    →
    ＝１／３（－ａ－ｂ＋２ｃ）

あとは右辺を地道に計算して
         →          →         →             →
右辺＝｜ＧＡ｜^2＋｜ＧＢ｜^2＋｜ＧＣ｜^2＋３｜ＰＧ｜^2
（途中計算省略）
        →        →        → 
    ＝｜ａ｜^2＋｜ｂ｜^2＋｜ｃ｜^2・・・②
①②より
左辺＝右辺  が証明されました。