質問＜１８８９＞２００４／８／２４
from=弟太郎
「部分積分」

こんにちは。

∫(e^x)(sinx)dx
を部分積分を使った解法をするとどうなるのか教えていただけないでしょうか。
自分でやってみたのですが、何回やっても消えてくれません。
しかし、面倒くさいが、部分積分を使ってできなくもない。と聞きましたので、
どうやるのか教えていただけないでしょうか。
できれば途中の式も全部書いていただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／８／２５
from=wakky

これはよくあるパターンのようです。
たいていの参考書には載っていると思いますよ。

(e^x)(sinx) と (e^x)(cosx) をセットで考えます。
※
セットで考えなくても、部分積分を繰り返すともう一度 ∫(e^x)(sinx)dx が
出てきて、方程式を解く感覚で解けると思います。

I=∫(e^x)(sinx)dx 
J=∫(e^x)(cosx)dx  とします。

{(e^x)(sinx)}'= (e^x)(sinx)+(e^x)(cosx)
{(e^x)(cosx)}'= (e^x)(cosx)-(e^x)(sinx)
それぞれの両辺をxで積分すると
(e^x)(sinx)=I+J
(e^x)(cosx)=J-I となります。

あとは連立方程式でIとJが求まります。

I=(1/2)(e^x)(sinx-cosx)+C
J=(1/2)(e^x)(sinx+cosx)+C

お便り２００４／８／２６
from=juin

A=∫(e^x)(sinx)dxと置き部分積分する。
e^xを積分し、sinxを微分する。
２回くり返すと、Aが現れるので、Aについて解けばよい。