質問＜１８９＞９９／１０／２３
from=Ichiro Hashimoto
「三角比の三角形への応用」

次の問題がどうしてもとけません。おしえてください。
△ABCの辺BC,CA、ABの長さをそれぞれa，b，cとする。
∠C＝６０°，ab＝c，a≧bであるときaおよびbをcで表せ。
また、cのとりうる範囲を求めよ。

お返事９９／１０／２５
from=武田

三角比の余弦定理より、
ｃ2＝ａ2＋ｂ2－２ａｂｃｏｓ６０°
　　＝ａ2＋ｂ2－ａｂ
ａｂ＝ｃより、ｂ＝ｃ／ａ
これを代入して、
ｃ2＝ａ2＋（ｃ／ａ）2－ｃ
両辺にａ2をかけて
ｃ2ａ2＝ａ4＋ｃ2－ｃａ2
変形して、
ａ4－（ｃ2＋ｃ）ａ2＋ｃ2＝０
解の公式より、
ａ2＝［（ｃ2＋ｃ）±√｛（ｃ2＋ｃ）2－４ｃ2｝］／２
　　＝｛（ｃ2＋ｃ）±√（ｃ4＋２ｃ3－３ｃ2）｝／２
　　＝［（ｃ2＋ｃ）±√｛ｃ2（ｃ2＋２ｃ－３）｝］／２
　　＝［（ｃ2＋ｃ）±ｃ√｛（ｃ＋３）（ｃ－１）｝］／２
　　＝ｃ／２［（ｃ＋１）±√｛（ｃ＋３）（ｃ－１）｝］
辺ａ＞０より
ａ＝√〔ｃ／２［（ｃ＋１）±√｛（ｃ＋３）（ｃ－１）｝］〕
同様にして、
ｂ＝√〔ｃ／２［（ｃ＋１）±√｛（ｃ＋３）（ｃ－１）｝］〕
ａｂ＝ｃ、ａ≧ｂより、
　ａ＝√〔ｃ／２［（ｃ＋１）＋√｛（ｃ＋３）（ｃ－１）｝］〕
　ｂ＝√〔ｃ／２［（ｃ＋１）－√｛（ｃ＋３）（ｃ－１）｝］〕……（答）
平方根の中が正または０になる必要があるので、
（ｃ＋３）（ｃ－１）≧０より、
ｃ≦－３または１≦ｃ
辺ｃ＞０より、
ｃ≧１……（答）