質問＜１９０１＞２００４／８／２９
from=祥
「複素数平面」

問　座標平面上の点P(x,y)に対して
　　複素数z={x+y-(1/2)}+(x-y)iを考える。
　　このときz^2+(1/z^2)が実数となるような
　　点Pの存在範囲を座標平面上に図示せよ。

図示する問題ですが
可能でしたら完全回答を希望しています
よろしくお願いします

★希望★完全解答★

お便り２００４／８／３０
from=wakky

z=r(cosθ+isinθ)　とおきます。
1/z=(1/r){cos(-θ)+isin(-θ)}
   =(1/r)(cosθ-isinθ)
z^2=r^2(cos2θ+isin2θ)
1/(z^2)={1/(r^2)}(cos2θ-isin2θ)
よって
z^2+(1/z^2)
={r^2+(1/r^2)}cos2θ+i{r^2-(1/r^2)}sin2θ
z^2+(1/z^2)は実数だから
r^2-(1/r^2)=0
よって　r^2=1
z={x+y-(1/2)}+(x-y)i で　|z|=r なのだから
r^2={x+y-(1/2)}^2+(x-y)^2=1
2x^2+2y^2-x-y-(3/4)=0
x^2+y^2-(x/2)-(y/2)-(3/8)=0
{x-(1/4)}^2+{y-(1/4)}^2=1/2
よって
中心(1/4,1/4)　半径1/√2　の円周上にある。

お便り２００４／８／３１
from=UnderBird

from UnderBird

z^2+(1/z^2)が実数⇔z^2+(1/z^2)=conj{z^2+(1/z^2)}
       conjは共役複素数の意味
また、z*conj(z)=|z|^2を用いると
{z^2-conj(z)^2}(|z|^2-1)=0より
|z|=1,z=conj(z),z=-conj(z)
zは順に中心１半径１の円、実数、純虚数であればよい。
z=(x+y-1/2)+(x-y)iから
順に(x+y-1/2)^2+(x-y)^2=1,x-y=0,x+y-1/2=0
よって
(x-1/4)^2+(y-1/4)^2=(1/√2)^2,y=x,y=-x+1/2