質問<1901>2004/8/29
問 座標平面上の点P(x,y)に対して 複素数z={x+y-(1/2)}+(x-y)iを考える。 このときz^2+(1/z^2)が実数となるような 点Pの存在範囲を座標平面上に図示せよ。 図示する問題ですが 可能でしたら完全回答を希望しています よろしくお願いします ★希望★完全解答★
お便り2004/8/30
from=wakky
z=r(cosθ+isinθ) とおきます。 1/z=(1/r){cos(-θ)+isin(-θ)} =(1/r)(cosθ-isinθ) z^2=r^2(cos2θ+isin2θ) 1/(z^2)={1/(r^2)}(cos2θ-isin2θ) よって z^2+(1/z^2) ={r^2+(1/r^2)}cos2θ+i{r^2-(1/r^2)}sin2θ z^2+(1/z^2)は実数だから r^2-(1/r^2)=0 よって r^2=1 z={x+y-(1/2)}+(x-y)i で |z|=r なのだから r^2={x+y-(1/2)}^2+(x-y)^2=1 2x^2+2y^2-x-y-(3/4)=0 x^2+y^2-(x/2)-(y/2)-(3/8)=0 {x-(1/4)}^2+{y-(1/4)}^2=1/2 よって 中心(1/4,1/4) 半径1/√2 の円周上にある。
お便り2004/8/31
from=UnderBird
from UnderBird z^2+(1/z^2)が実数⇔z^2+(1/z^2)=conj{z^2+(1/z^2)} conjは共役複素数の意味 また、z*conj(z)=|z|^2を用いると {z^2-conj(z)^2}(|z|^2-1)=0より |z|=1,z=conj(z),z=-conj(z) zは順に中心1半径1の円、実数、純虚数であればよい。 z=(x+y-1/2)+(x-y)iから 順に(x+y-1/2)^2+(x-y)^2=1,x-y=0,x+y-1/2=0 よって (x-1/4)^2+(y-1/4)^2=(1/√2)^2,y=x,y=-x+1/2