質問<1926>2004/9/2
(1)連続する3つの正整数の3乗の和は9の倍数であることを示せ。 (2)x+y+Z=1/x +1/y +1/z =1ならばx,y,xのうち少なくとも1つは1に 等しいことを示せ。 どうかよろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2004/9/7
from=wakky
(1) 連続する3つ整数を m-1,m,m+1とします。 (m,m+1,m+2でもいいですけど、計算が楽になるのでそうします。) (m-1)^3+m^3+(m+1)^3 =3m^3+6m ここで、mを3の剰余類で場合分けします。 m=3kのとき 3m^3+6m=9k(9k^2+2) m=3k+1のとき 3m^3+6m=9(3k+1)(3k^2+2k+1) m=3k+2のとき 3m^3+6m=9(3k+2)(3k^2+2k+2) いずれの場合も9の倍数となります。 (2) 1 1 1 ----+----+----=1 より x y z xy+yz+zx ---------------=1 xyz つまり xy+yz+zx=xyz x,y,zのうち少なくともひとつが1に等しいということは x=1またはy=1またはz=1とういことですから、 (x-1)(y-1)(z-1)=0となればいい訳です。 (x-1)(y-1)(z-1) =xyz-(xy+yz+zx)+(x+y+z)-1 ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^^^^^^^^^^^ =xyz-xyz+1-1 ^^^^^^^^^^^^^ ^^^^^^ =0 これで証明されました。
お便り2004/9/7
from=UnderBird
from UnderBird 3つの連続する正の整数をn-1,n,n+1(nは2以上の整数)とおく。 (n-1)^3+n^3+(n+1)^3=3n^3+6n=3n(n^2+2) =3n{(n-1)(n+1)+3}=3(n-1)n(n+1)+9n 第1項目は3つの連続する数の積より3の倍数であるから、 3(n-1)n(n+1)も9nも9の倍数。 よって、9の倍数。 (x-1)(y-1)(z-1)=0であることを示せばよい。 左辺=xyz+(x+y+z)-(xy+yz+zx)-1 ここで、1/x +1/y +1/z =1から、 xyz=xy+yz+zxより左辺=0である。 よってx、y、zのうち少なくとも1つは1である。