質問<1957>2004/9/19
xy平面上において点(p,0)を通る直線と放物線y^2=4px(p>0)の交点をA、Bとし、 線分ABの長さをlとする。 ∠AOB=θとするとき、tanθをp、lで表せ(ただしOとは原点のことである。) という問題なのですが、 pを通る直線をx=my+pとして放物線と式に代入して、 y^2-4pmy-4p^2=0となって、解と係数の関係から、 2点A,Bのy座α、β標をα、βとするとして、 α+β=4pm、αβ=4p^2として、三角形AOB において、余弦定理用いて、cosθを出して、 (cosθ)^2-1=(tanθα)^2の式に代入すると 言う方針でやってみたのですが、 計算は爆発寸前だわ、 mは消えないわでもう何時間やってもきれいな値が出ません。 どうしたらよいか方針のもっていきかた&解答をお願いします。 ★希望★アプローチ★
お便り2004/9/21
from=UnderBird
from UnderBird αβ=4p^2は、αβ=-4p^2ですね。 さて、放物線の性質より、P(p,0)とすると、 AP={点Aからx=-pまでの距離}という関係式も使えば l=4p(m^2+1)という関係式を得る。確認のため、 ここで、A(α^2/(4p),α),B,(β^2/(4p),β),α>0,β<0ですね。 このあと私は余弦定理でなく、 OAとx軸の正の方向をなす角をξ(ξ>0)、OBとx軸の正の方向をなす角を φ(φ<0)でtanξ、tanφを求め、 加法定理 tanθ=tan(ξ-φ)={tanξ-tanφ}/{1+tanξtanφ} で求めました。 もっとすっきりできるはずですが、とりあえず。 答えは-{√(4pl)}/(3p)