質問<1993>2004/10/7
初めましてこんばんは! 解き方が分からない問題があったので完全解答を教えてもらいたいのですが…。 お願いします! 次の文章中の□に適する式または数値を解答用紙の同じ記号のついた□の中に 記入せよ。 xy平面上に放物線C:y=2x^2+3がある。C上の点T(t,2t^2+3) (ただしt≠0)を通るCの接線の方程式はy=ァ□x+ィ□である。又Tを通り、 この接線に垂直な直線lの方程式はy=ゥ□xェ□である。Tを通り、y軸と平行 な直線m上の任意の点をP(t,α)、lに関してPと対称な点をQ(X,Y)とする。 すると、PQはlに垂直だから、Y-α=ォロ(X-t)となる。又、PQの中点はl上 にあるので(Y+α)/2=ゥロ(X+t)/2+ェロ。これらからαを消去すると、 Y=カロX+キロ。ゆえにl上に関してmと対称な直線nの方程式はy=カロx+キロ となる。この方程式から、TがC上を動くとき、直線nは定点(クロ,ケロ)を通る ことが分かる。 ★希望★完全解答★
お便り2004/10/12
from=wakky
計算に誤りがあったらお許しください。 これだけ誘導している問題ですので、基本をしっかりおさらいしましょう。 ①曲線y=f(x)上の点(a,b)における接線の傾きはf’(a) したがって接線の方程式は y=f’(a)(x-a)+b ② 同じ点(a,b)を通り、接線に垂直な直線(法線といいます)は 傾きの積が-1だから、その傾きは -1/f’(a) その方程式は y={-1/f’(a)}(x-a)+b ③ 二点(s,t)(u,v)の中点の座標は ((s+t)/2,(u+v)/2) ④ 直線 y=px+q はpの値(傾き)にかかわらず定点(0,q) 【y切片といいます】を通る。 ポイントはこの4つだと思います。 解答は結果だけ書いておきます。 ご自分で確かめてください。 接線の方程式 y=4tx-2t^2+3 ア:4t イ:-2t^2+3 直線l(点Tにおける法線)の方程式 y=(-1/4t)x+2t^2+(13/4) ウ:-1/4t エ:2t^2+(13/4) 直線PQは直線lに垂直だから Y-α=4t(X-t) オ:4t 線分PQの中点は直線l上にあるから (Y+α)/2=(-1/4t){(X+t)/2}+2t^2+(13/4) これからαを消去すると Y={(16^2-1)/8t}X+(25/8) ゆえにl上に関してmと対称な直線nの方程式は y={(16^2-1)/8t}x+(25/8) カ:(16^2-1)/8t キ:25/8 つまり定点(0,25/8)を通る ク:0 ケ:25/8
お便り2004/10/15
from=wakky
上の ③二点(s,t)(u,v)の中点の座標は ((s+t)/2,(u+v)/2) は間違いです(汗) 正しくは ((s+u)/2,(t+v)/2) です。