質問

以下の問いを教えてください。

Ｚの二元a．bの間にa～b⇔「aとbを７で割ったとき、それぞれの余りが等しい」
という関係をいれる。
また、ｋ＝０，１，２，・・・，６に対し、
集合｛ｘ│ｘ～ｋ｝をC(ｋ）と表すことにする。

(1)　関係～は、同値関係であることを示せ
(2)　C(0)，C(1)，・・・C(6)は、Zの類別であることを示せ

●集合｛　C(0)，C(1)，・・・C(6)　｝にC(ａ)C(ｂ)＝C(ab)によって乗法を定義する。

(3)　この乗法の定義は、代表元のとり方に依らないことを示せ
(4)　C(4)C(X)＝C(1)となる　X　を求めよ　
(5)　ｋ＝1，2，3，・・・，6　に対しC(k)C(X)＝C(1)をみたす　X
　　　は、存在し、一意に定まることを示せ。　

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／２４
from=honda

1996は1817を含みますので1996のみ．
更に一般の素数pで話をしておきます．

補題：
a～bの定義は「a-bがpで割り切れる」と同値．

これは明らかなので証明不要でしょう．

(1)
・反射律
a-a=0でこれはpで割り切れるのでa～a
・対称律
a-bがpで割り切れるとき
b-a=-(a-b)なので，a～bならばb～a
・推移律
a～b，b～cとする．
a-c=(a-b)+(b-c)であって，
a-bとb-cはpで割り切れるので，a-cもpで割り切れる
よって，a～c
以上より，関係～は同値関係．

(2)
類別であることは
C(k) (k=0,1,2,...,p-1)が互いに素であり，
かつ和集合がZ全体となることをいえばよい．
C(k) (k=0,1,2,...,p-1)は
pで割ったときに余りがkとなる整数の集合
であることに注意する．
一方，
任意の整数に対して割り算の商と余りは一意に定まる・・・(A)
ので
異なるk，l(k=0,1,2,...,p-1)に対して
C(k)とC(l)に同時に属する整数は存在しない．
よって，互いに素である．
また，(k) (k=0,1,2,...,p-1)の和集合は
明らかにZの部分集合．
一方，(A)より任意の整数nは
pで割った余りkによって，C(k)に属する．
したがって，和集合はZ全体である

(3)
C(a)の代表元として，a，a'，
C(b)の代表元として，b，b'をとる．
a=a'+pk，b=b'+pl (k,lは整数)
とあらわせることに注意する．
C(ab)=C(a'b')を示せば十分である．
C(ab)の任意の元xをとる
x=ab+pm (mは整数)とあらわせる
ab=(a'+pk)(b'+pl)
=a'b'+p(a'l+b'k+pkl)
したがって，xはC(a'b')の元でもある
つまり，C(ab)はC(a'b')の部分集合
まったく同様にして，
C(a'b')はC(ab)の部分集合
よって，C(ab)=C(a'b')
これより，積は代表元のとり方に依存しない

(4)（これだけp=7とする）
4*2=8=1+7であるので，
C(4)C(2)=C(1)
つまり，X=2+7k (kは整数)

(5)
・存在性
pは素数であるので，
0以上p-1以下の整数kとは
互いに素である．
一般に互いに素な整数p，kに対して
mp+nk=1となる整数m，nが存在する．（A)
したがって，このm，nを用いて
kn=1-pmであるので
C(k)C(n)=C(1)
よって，条件を満たすXは存在する．
・一意性
条件を満たすXをa，bとする．
C(k)C(a)=C(k)C(b)=1
また，明らかにこの積は可換で，
結合則を満たす．
よって，
C(a)=C(1)C(a)=C(k)C(b)C(a)
=C(b)C(k)C(a)=C(b)C(1)=C(b)
代表元を0からp-1に限るならば
a=bであるので，一意である．

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問題のC(k)の定義がおかしいですね
kを0からp-1に限定するならば
C(ab)はabが0からp-1になければいけませんが
たいていはpより大きくなります．
けども，0からp-1を仮定しないと
(5)でのXでの一意性が・・・
こういう基礎的な問題では
こういう細かい部分をきちんとしないと
いかんですね．

(A)の部分を証明するとなると
話は長くなりますが，これは既知として
よいでしょう

ちなみに，これは高校の問題ではないですね
明らかに数学科の最初のころにやる
群論か環論の問題で，
きわめて基礎的な問題ですのでたいていの
教科書にはでているでしょう．