質問＜２０１４＞２００４／１０／１９
from=佐々木
「漸化式」

次の漸化式を解きなさい。
ｔｎ =２ｔn-１+ｎ （ｎ≧１）
ｔ０＝０
ｔｎのｎ,2tn-1のn-1,t0の0下付け小文字です。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１０／２０
from=honda

a_n=n+2とおくと
t_n+a_n=2(t_{n-1}+a_{n-1})
t_0+a_0=2なので
t_n+a_n=2^{n+1} (n=0,1,2,...)
よって
t_n=2^{n+1}-(n+2) (n=0,1,2,...)

===========
なお，最初の5，6項を計算して
二階の階差をとればt_nは予想できるので
数学的帰納法でも解けます．
これが一般的な方法でしょう．

ちなみに，上のa_nは
t_n+X=2(t_{n-1}+(X-1))
なる式を計算して，漸化式と比べることで
導出しました．