質問<2045>2004/11/6
①2次行列の集合 X=|a b|a,b,c,d∈R、ab-cd≠0 |c d| は行列の積について群になることを示せ。 ②Cの4つの元からなる集合Aが、数の乗法について群になる という。Aを求めよ。 まったくわかりません。宜しくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2004/11/8
from=UnderBird
① 「演算に閉じていること」 ほぼ明らか 「結合法則がなりたつ」 行列の積は結合法則が成り立つからOK すなわち(AB)C=A(BC) 「単位元の存在」 E(単位行列) 「逆元の存在」 ad-bc≠0より、逆行列が存在する 以上より、 2次行列の集合 X=|a b|a,b,c,d∈R、ab-cd≠0 |c d| は行列の積について群になる ② A={ 1, -1, i, -i }とすると、上の4条件を満たしていることがわかる。
お便り2004/11/12
from=honda
(2)は全てを決定する必要があるように思います 解1:群の一般論を使う方法 (前半は位数4の群をすべて決定しているので それを既知とすれば,解答部分はほんの少しです) Gを位数4の有限群とする. G={e,b,c,d} (eは単位元,b,c,dは互いに異なる元) とおく. 4の約数は1,2,4なので, Gの部分群の位数は1か2か4であるが, 1の場合は単位元のみの部分群なので b,c,dのそれぞれが生成する部分群の位数は 2か4である ここで位数4の部分群を生成すると元があると 仮定して,その生成元をbとおくと G={e,b,b^2,b^3}とおけ, これは位数4の巡回群 次に,位数4の部分群を生成する元がないと 仮定すると b^2=c^2=d^2=eとなる. また,bcはbともcとも異なるので (もし,同じだとそれぞれc=eまたはb=eとなり矛盾), bc=dである. (bc)^2=eであるので, bc=(bc)^{-1}=c^{-1}b^{-1}=cb よって, G={e,b,c,bc} b^2=c^2=e bc=cb,eは単位元 となる. 以上より位数4の群は 位数4の巡回群{e,b,b^2,b^3}(これをAとおく) または {e,b,c,bc} b^2=c^2=e bc=cb,eは単位元 なる群(これをBとおく) (たしかクライン群といったような・・・) の二つのみである さて,Gが複素数体Cの乗法群としての 部分群であるとき,e=1である. G=Bであるとすると, b^2=c^2=1,bとcは互いに異なり,1ではない ところが,b=1,-1, c=1,-1なので どちらかは1となるので矛盾. よって,Gは巡回群Aであるとなる b^4=1であるので,b=1,-1,i,-iであるが b^2は1ではなく,bは1ではないので b=iまたは-iである このどちらの場合でも G={1,-1,i,-i}となる よって, 求める部分群は{1,-1,i,-i}のみである. 解2:複素数の性質を使う方法 G={1,b,c,d}とおける. b^2=c^2=d^2=1とおくと, どれかは1となる (もしくはb,c,dで一致するものがある) ので矛盾. よって,少なくとも一つは2乗して1とならない 元が存在する.そこで,その元をbとする, さらに,b^2はbでも1でもないので,c=b^2とおける. 次に,bd=b,d,b^2とすると,それぞれ d=1,b=1,d=bとなりこれらは矛盾. よって,bd=1である. 以上より,G={1,b,b^2, b^{-1}}とおける. ここで,b^3=1,b,b^2,とすると, b^2=b^{-1},b=1,b=-1が得られ,矛盾する. よって,b^3=b^{-1}なので,b^4=1 b^2は1ではないので,b=i,-i bがiでも-iでもG={1,i,-1,-i}となる. よって, 求める部分群は{1,-1,i,-i}のみである.