質問<2044>2004/11/6
3次正方行列A= 1 0 0 a 1 0 b -a 1 について (1)A~2を求めよ。 (2)A~3を求めよ。 (3)nを任意の自然数としてA~nを求めよ。 (3)が数学的帰納法を使うと思うんですが、 全然分からなかったので、教えてください。 (出来れば、(1)(2)も) お願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2004/11/6
from=風あざみ
(3) 二項定理を使って解きます。 単位行列E= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 行列XをX= 0 0 0 a 0 0 b -a 0 とおくと、A=X+Eとなります。 任意の自然数mに対して E^m= 1 0 0 0 1 0 0 0 1 X^2= 0 0 0 0 0 0 -a^2 0 0 X^3= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 したがって、4以上の整数kに対して、X^k= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 となることを利用する。 A^n=(E+X)^n=Σ_(i=0)^n{(n_C_i)X^i}=E+nX+n(n-1)/2*X^2= 0 0 0 na 0 0 -{n(n-1)/2}a^2 -na 0
お便り2004/11/6
from=wakky
完全解答とまではいきませんが・・・ (1) 行列の計算はいいでしょうか? 1 0 0 2a 1 0 -a^2+2b -2a 1 となるようです。 (2) (1)の結果にもう一度行列Aをかけましょう。 これは自分でやってみてください。 (3) ここではきっと、3行1列に出てくるa^2の係数をnで表すことに悩んだ のではないかと思います。 A^3を(2)で求めていますが A^5くらいまで計算しないと見えてこないかもしれません。 3行1列にでてくるa^2の係数は 0,-1,-3,-6,-10・・・・ですから (1/2)n(1-n)です。 (階差数列が等差数列ですね。) ここまで推定できたら おっしゃるとおり数学的帰納法で証明できます。 (計算力の勝負になりますね) なお、証明して確かめていませんのでお許しを。 1 0 0 na 1 0 (1/2)n(1-n)a^2+nb -na 1 となるようです。