質問

３次正方行列Ａ＝
1 0 0
a 1 0
b -a 1　について

（１）Ａ~2を求めよ。
（２）Ａ~3を求めよ。
（３）nを任意の自然数としてＡ~nを求めよ。

（３）が数学的帰納法を使うと思うんですが、
全然分からなかったので、教えてください。
（出来れば、（１）（２）も）

お願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１１／６
from=風あざみ

(3)
二項定理を使って解きます。

単位行列E=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
行列XをX=
0 0 0
a 0 0
b -a 0
とおくと、A=X+Eとなります。

任意の自然数mに対して
E^m=
1 0 0
0 1 0
0 0 1

X^2=
0 0 0
0 0 0
-a^2 0 0

X^3=
0 0 0
0 0 0
0 0 0

したがって、4以上の整数kに対して、X^k=
0 0 0
0 0 0
0 0 0
となることを利用する。

A^n=(E+X)^n=Σ_(i=0)^n{(n_C_i)X^i}=E+nX+n(n-1)/2*X^2=
0 0 0
na 0 0
-{n(n-1)/2}a^2 -na 0

お便り２００４／１１／６
from=wakky

完全解答とまではいきませんが・・・

（１）
行列の計算はいいでしょうか？

     １          ０      ０

     ２ａ        １      ０

 －ａ^2＋２ｂ  －２ａ    １

となるようです。

（２）
（１）の結果にもう一度行列Ａをかけましょう。
これは自分でやってみてください。

（３）
ここではきっと、３行１列に出てくるａ^2の係数をｎで表すことに悩んだ
のではないかと思います。
Ａ^3を（２）で求めていますが
Ａ^5くらいまで計算しないと見えてこないかもしれません。
３行１列にでてくるａ^2の係数は
０，－１，－３，－６，－１０・・・・ですから
（１／２）ｎ（１－ｎ）です。
（階差数列が等差数列ですね。）
ここまで推定できたら
おっしゃるとおり数学的帰納法で証明できます。
（計算力の勝負になりますね）
なお、証明して確かめていませんのでお許しを。

        １              ０          ０

       ｎａ             １          ０

(1/2)n(1-n)a^2+nb    －ｎａ         １

となるようです。