質問

よろしくお願いします。
正定数ａに対し２つの曲線Ｃ₁：ｙ＝ａｘ²と
Ｃ₂：ｙ＝（ａ＋１）√ｘ　（ｘ≧０）を考える。
（１）Ｃ₁とＣ₂の原点以外の交点Ｐの座標をａで表せ
（２）曲線Ｃ₁，Ｃ₂で囲まれる部分の面積Ｓ（ａ）を求めよ。
（３）ａを正の範囲で動かすとき，（２）で求めた面積Ｓ（ａ）の最小値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００４／１２／８
from=wakky

（１）
ａｘ^2＝（ａ＋１）√ｘと置いて
両辺を平方して整理してｘについて解くと
ｘ＝０，｛（ａ＋１）^(2/3)｝／ａ^(2/3)
原点以外の交点だからｘ≠０
よって
ｘ＝｛（ａ＋１）^(2/3)｝／ａ^(2/3)
このとき
ｙ＝｛（ａ＋１）^(4/3)｝／ａ^(1/3)
求める交点の座標は
（｛（ａ＋１）^(2/3)｝／ａ^(2/3)，｛（ａ＋１）^(4/3)｝／ａ^(1/3)）

（２）
曲線Ｃ１，Ｃ２の交点は（１）で求めた座標と、もう一つは原点。
０≦ｘ≦｛（ａ＋１）^(2/3)｝／ａ^(2/3)の範囲では
Ｃ２はＣ１の上にあるから
Ｓ（ａ）は
（ａ＋１）√ｘ － ａｘ^2
を０≦ｘ≦｛（ａ＋１）^(2/3)｝／ａ^(2/3)
の範囲で定積分すればよい。
途中計算省略して
Ｓ（ａ）＝（ａ＋１）^2／３ａ

（３）
Ｓ（ａ）＝（ａ＋１）^2／３ａより
Ｓ’（ａ）＝（ａ＋１）（ａ－１）／３ａ^2
ａ＞０だから
Ｓ’（ａ）＝０のとき ａ＝１
よって次の増減表を得る。

   ａ        ０         １   

Ｓ’（ａ）        －    ０     ＋

Ｓ（ａ）          減    極小   増

よってｆ（ａ）はａ＝１のとき極小かつ最小となり
最小値は  Ｓ（１）＝４／３