質問

Ｚの２元a,bの間に
a～b⇔「ａとｂを７で割ったとき、それぞれのあまりが等しい」
という関係を入れる。
また、k=0,1,2・・・,6に対し、集合{x|x～k}をc(k)と表す。

（２）c(0),c(1)・・・c(6)はＺの類別であることを示せ。

・Ｚの任意の元はc(0),c(1),・・・,c(6)のいずれかに属する。
　「n∈Zとすると、除法の定理より、ヨq,ヨr∈Z。
　　n=7q+rとなるが、ここで０≦r＜７より、
　　c(r)はc(0),c(1),・・・c(6)のいずれかでn∈c(r)となる。」

・０から６の自然数のうち任意の異なるi,jに対してc(i)∩c(j)が
　空集合であることを示す。これを背理法で示す。
　i,jを０から６の自然数で異なるとし、c(i)∩c(j)が空集合でないとする。
　x∈c(i)∩c(j)とすると、x～iかつx～j
　よって、i～jとなる。
　「０≦i,j＜６より、i=jなので矛盾する」
　したがって、c(i)∩c(j)が空集合である。

上記のようにご指導をいただいたのですが、
「」の部分の説明がわからないのでどなたか方教えていただければ
幸いなのでお願いします。 

★希望★完全解答★

お便り２００５／２／１６
from=自助努力

除法の定理に関しては、直観的には数直線を 7 ずつ区切っていく感じ。
任意の整数は、区切られたどこかの区画には入っているわけです。

0≦i, j＜6 なので、i, j を 7 で割ったあまりはそれぞれ i, j になる。
だから i = j でなければならないが、これは i≠j の仮定に矛盾である。□