質問<2137>2005/1/2
Zの2元a,bの間に a~b⇔「aとbを7で割ったとき、それぞれのあまりが等しい」 という関係を入れる。 また、k=0,1,2・・・,6に対し、集合{x|x~k}をc(k)と表す。 (2)c(0),c(1)・・・c(6)はZの類別であることを示せ。 ・Zの任意の元はc(0),c(1),・・・,c(6)のいずれかに属する。 「n∈Zとすると、除法の定理より、ヨq,ヨr∈Z。 n=7q+rとなるが、ここで0≦r<7より、 c(r)はc(0),c(1),・・・c(6)のいずれかでn∈c(r)となる。」 ・0から6の自然数のうち任意の異なるi,jに対してc(i)∩c(j)が 空集合であることを示す。これを背理法で示す。 i,jを0から6の自然数で異なるとし、c(i)∩c(j)が空集合でないとする。 x∈c(i)∩c(j)とすると、x~iかつx~j よって、i~jとなる。 「0≦i,j<6より、i=jなので矛盾する」 したがって、c(i)∩c(j)が空集合である。 上記のようにご指導をいただいたのですが、 「」の部分の説明がわからないのでどなたか方教えていただければ 幸いなのでお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2005/2/16
from=自助努力
除法の定理に関しては、直観的には数直線を 7 ずつ区切っていく感じ。 任意の整数は、区切られたどこかの区画には入っているわけです。 0≦i, j<6 なので、i, j を 7 で割ったあまりはそれぞれ i, j になる。 だから i = j でなければならないが、これは i≠j の仮定に矛盾である。□