質問＜２１４＞２０００／１／１６
from=ＭＩＧＯ
「フィボナッチ数列」

海鳴社出版の「オイラーの贈物」(吉田武著)の３０９ページに
フィボナッチ数列の一般項が三角関数で表示されていした。
　　　　　　［(ｎ－１)／２］
　　　　ｘｎ＝｜｜積記号　(１＋４ｃｏｓ(ｋπ／ｎ))２乗
　　　　　　　ｋ＝１
証明がわかりません。自分でやりたかったのですが，時間がなく
取り組めていません。ヒントをください。お待ちしています。
数学愛好者より。

お返事２０００／１／１７
from=武田

　フィボナッチ数列の一般項が三角関数で表現できるとは質
問が来るまで知りませんでした。
　早速調べてみると、
正方格子上のある量の統計力学的数え上げを行った際に出て
きた式の副産物で、数学の公式集にはまだ載っていないそう
です。関数電卓や計算機の三角関数計算の精度チェックに利
用しているようです。
　また、式が少し違っていました。
　　　　　　［(n-1)/2］
　　　　Ｆｎ＝　Π　{１＋４ｃｏｓ2(kπ/n)}
　　　　　　　ｋ＝１
なお、Π(パイ)はπの大文字で、乗積を表しています。
（ちょうど、Σ(シグマ)がσの大文字で、和を表しているのと
似ていますね。）
Πの上端の［(n-1)/2］の[　]はガウスの記号と呼ばれている
もので、[ｘ]とは、ｘ以下の最大の整数を表すことになって
います。例えば、[-2.5]＝－３、[3.2]＝３

　さて、この式が成り立つことの証明ですが、たまたま以前
の質問＜１＞の解答を考える（野崎先生のお便り）ときに
クンマーの因数分解というのがありまして、そこから糸口を
見つけだすことができました。
　最初にフィボナッチ数列の一般項Ｆｎの計算をして、

　　　{(1+√5)/2}n－{(1-√5)/2}n
Ｆｎ＝──────────────
　　　　　　　　√５
を求めます。次に、クンマーの因数分解を使って、
ζ＝cos(2π/n)＋ｉsin(2π/n)　と、
　　１＋√５　　　　　１－√５
α＝────　と　β＝────　より、
　　　　２　　　　　　　　２
　　　αn－βn
Ｆｎ＝────
　　　　√５
αn－βn＝(α－β)(α－ζβ)(α－ζ2β)……(α－ζn-1β)
α－β＝√５

　　　　　１＋√５　　　　　　　　　　　　　　１－√５
α－ζβ＝────－{cos(2π/n)＋ｉsin(2π/n)}────
　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　２
　　　　　１＋√５　　　　　　１－√５　　　　　　　１－√５
　　　　＝────－cos(2π/n)────－ｉsin(2π/n)────
　　　　　　　２　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２

　　　　　　１＋√５　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１－√５
α－ζn-1β＝────－{cos(n-1)(2π/n)＋ｉsin(n-1)(2π/n)}────
　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２
　　　　　　１＋√５　　　　　　　　１－√５　　　　　　　　　１－√５
　　　　　＝────－cos(2π-2π/n)────－ｉsin(2π-2π/n)────
　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　２
　　　　　　１＋√５　　　　　　１－√５　　　　　　　１－√５
　　　　　＝────－cos(2π/n)────＋ｉsin(2π/n)────
　　　　　　　　２　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　２
α－ζβとα－ζn-1βはｉの前の符号が反対だけでそっくり
だから、(a-b)(a+b)=ａ2－ｂ2より、
（α－ζβ）・（α－ζn-1β）
　　１＋√５　　　　　　１－√５　　　　　　　　　　１－√５
＝｛────－cos(2π/n)────｝2－ｉ2｛sin(2π/n)────｝2
　　　　２　　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　２
　６＋２√５　　　　　　　　　６－２√５
＝──────＋２cos(2π/n)＋─────{cos2(2π/n)＋sin2(2π/n)}
　　　４　　　　　　　　　　　　　４
　６＋２√５　６－２√５
＝─────＋─────＋２cos(2π/n)
　　　４　　　　　４
＝３＋２cos２(π/n)
＝３＋２｛２cos2(π/n)－１｝
＝１＋４cos2(π/n)
同様のやり方で、
（α－ζ2β）・（α－ζn-2β）
＝１＋４cos2(2π/n)
同様にやると、(n-1)/2個の１＋４cos2(kπ/n)ができる。
なお、ｎが奇数の時は
　　　　(2k-1-1)/2＝（ｋ－１）個となるので良いが、
ｎが偶数の時は
　　　　(2k-1)/2＝（ｋ－１／２）個となり、
n/2番目が１個残ってしまう。しかし、
　　　　　　１＋√５　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１－√５
α－ζn/2β＝────－{cos(n/2)(2π/n)＋ｉsin(n/2)(2π/n)}────
　　　　　　　　２　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　２
　　　　　１＋√５　　　　１－√５　　　　　　１－√５
　　　　＝────－cos(π)────－ｉsin(π)────
　　　　　　　２　　　　　　　２　　　　　　　　　２
　　　　　１＋√５　１－√５
　　　　＝────＋────＝１
　　　　　　　２　　　　２
なので、個数はガウスの記号を利用して、[(n-1)/2]とすると、
　　　αn－βn
Ｆｎ＝────
　　　　√５
　　＝【１＋４cos2(π/n)】【１＋４cos2(２π/n)】
　　　……【１＋４cos2([(n-1)/2]π/n)】

　　［(n-1)/2］
　　＝　Π　{１＋４ｃｏｓ2(kπ/n)}
　　　ｋ＝１
以上、苦労しましたが、クンマーの因数分解が役立ちました。