質問＜２２１６＞２００５／２／２４
from=MTT
「二重積分」

二重積分なんですが、

\int_{-x_0}^{x_0} \int_{-y_0}^{y_0} \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} dxdy

って解析的に解けますでしょうか。
ちなみにx_0,y_0は相関のない定数(>=0)、あとa,bも定数(>=0)っていうだけです。
極座標に変換してもr,\thetaの範囲がよく分からないし、八方ふさがりで困ってます。

よろしくお願いします。

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／１７
from=angel

z=(x^2+y^2)^(1/2) とした時の、0≦x≦a,0≦y≦b の範囲での 
∬zdxdy が分かれば十分、と考えて計算する。
※他の範囲の場合は、領域の切り貼りで対応できるため。
　例えば、0≦x1≦x≦x2,0≦y1≦y≦y2 であれば、
　　0≦x≦x2,0≦y≦y2 の部分から、
　　0≦x≦x1,0≦y≦y2、0≦x≦x2,0≦y≦y1 の部分を引き、
　　0≦x≦x1,0≦y≦y1 の部分を足すことで対処できる。

まずは、極座標に変換し、3つの領域で分けて考える。
∬[0≦x≦a,0≦y≦b] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy
= ∬[0≦x^2+y^2≦a^2+b^2] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy
　- ∬[a^2≦x^2+y^2≦a^2+b^2,x≧a] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy
　- ∬[b^2≦x^2+y^2≦a^2+b^2,y≧b] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy
= ∬[0≦r≦(a^2+b^2)^(1/2),0≦θ≦π/2] r^2 drdθ
　- ∬[a≦r≦(a^2+b^2)^(1/2),0≦θ≦arccos(a/r)] r^2 drdθ
　- ∬[b≦r≦(a^2+b^2)^(1/2),arcsin(b/r)≦θ≦π/2] r^2 drdθ
= ∫[0,(a^2+b^2)^(1/2)] π/2・r^2 dr
　- ∫[a,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(a/r) dr
　- ∫[b,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・(π/2 - arcsin(b/r)) dr
= π/6・(a^2+b^2)^(3/2)
　- ∫[a,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(a/r) dr
　- ∫[b,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(b/r) dr　…(1)

ここで、∫r^2・arccos(p/r) dr を求める。
t = p/r として置換、
r = p/t, dt = -p/r^2・dr

∫r^2・arccos(p/r) dr
= ∫r^2・arccos(p/r)・(-r^2/p) dt
= -1/p・∫r^4・arccos(p/r) dt
= -1/p・∫(p/t)^4・arccos(t) dt
= -p^3・∫t^(-4)・arccos(t) dt …(2)

次に、∫t^(-4)・arccos(t) dt を求める。
部分積分により、
∫t^(-4)・arccos(t) dt
= -1/3・t^(-3)・arccos(t) - 1/3・∫t^(-3)・(1-t^2)^(-1/2) dt
= -1/3・t^(-3)・arccos(t)
　+ 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(-1/2)
　- 1/6・∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt …(3)

更に、∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt を求める。

その前に、
∫1/cosφ dφ = 1/2・log( (1+sinφ)/(1-sinφ) )
なぜなら
∫1/cosφ dφ
= ∫1/sin(π/2+φ) dφ
= ∫1/2sin(π/4+φ/2)cos(π/4+φ/2) dφ
= ∫( (sin(π/4+φ/2))^2+(cos(π/4+φ/2))^2 )/2sin(π/4+φ/2)cos(π/4+φ/2) dφ
= ∫( sin(π/4+φ/2)/2cos(π/4+φ/2) + cos(π/4+φ/2)/2sin(π/4+φ/2) )dφ
= -log|cos(π/4+φ/2)| + log|sin(π/4+φ/2)| )
= log| sin(π/4+φ/2)/cos(π/4+φ/2) | +C
= 1/2・log( 2(sin(π/4+φ/2))^2/2(cos(π/4+φ/2))^2 ) +C
= 1/2・log( (1-cos(π/2+φ))/(1+cos(π/2+φ)) ) +C
= 1/2・log( (1+sinφ)/(1-sinφ) )

t = cosφ として置換
dt = -sinφ dφ, sinφ=(1-t^2)^(1/2)

∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt
= -∫1/(cosφ(sinφ)^2)dφ
= -∫((cosφ)^2+(sinφ)^2)/(cosφ(sinφ)^2)dφ
= -∫( cosφ(sinφ)^(-2) + 1/cosφ )dφ
= 1/(sinφ) - 1/2・log( (1+sinφ)/(1-sinφ) ) +C
= (1-t^2)^(-1/2) - 1/2・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2)^(1/2)) ) +C　…(4)

(3),(4) より
∫t^(-4)・arccos(t) dt
= -1/3・t^(-3)・arccos(t)
　+ 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(-1/2)
　- 1/6・∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt
= -1/3・t^(-3)・arccos(t)
　+ 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(-1/2)
　- 1/6・(1-t^2)^(-1/2)
　+ 1/12・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2))^(1/2) ) +C
= -1/3・t^(-3)・arccos(t)
　+ 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(1/2)
　+ 1/12・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2))^(1/2) ) +C　…(5)

(2),(5)より、
∫r^2・arccos(p/r) dr
= -p^3・∫t^(-4)・arccos(t) dt
= p^3/3・t^(-3)・arccos(t)
　- p^3/6・t^(-2)・(1-t^2)^(1/2)
　- p^3/12・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2)^(1/2)) ) +C
= r^3/3・arccos(p/r)
　- pr/6・(r^2-p^2)^(1/2)
　- p^3/12・log( (r+(r^2-p^2)^(1/2))/(r-(r^2-p^2)^(1/2)) ) +C　…(6)

(1),(6)より、
∬[0≦x≦a,0≦y≦b] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy
= π/6・(a^2+b^2)^(3/2)
　- ∫[a,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(a/r) dr
　- ∫[b,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(b/r) dr
= π/6・(a^2+b^2)^(3/2)
　- 1/3・(a^2+b^2)^(3/2)・arccos(a(a^2+b^2)^(-1/2))
　+ 1/6・ab(a^2+b^2)^(1/2)
　+ a^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+b)/((a^2+b^2)^(1/2)-b) )
　- 1/3・(a^2+b^2)^(3/2) /3・arccos(b(a^2+b^2)^(-1/2))
　+ 1/6・ab(a^2+b^2)^(1/2)
　+ b^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+a)/((a^2+b^2)^(1/2)-a) )
= π/6・(a^2+b^2)^(3/2)
　- 1/3・(a^2+b^2)^(3/2)・( arccos(a(a^2+b^2)^(-1/2))
　+ arccos(b(a^2+b^2)^(-1/2)) )+ 1/3・ab(a^2+b^2)^(1/2)
　+ a^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+b)^2/((a^2+b^2)^(1/2)+b)((a^2+b^2)^(1/2)-b) )
　+ b^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+a)^2/((a^2+b^2)^(1/2)+a)((a^2+b^2)^(1/2)-a) )
= 1/3・ab(a^2+b^2)^(1/2)
　+ a^3/6・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+b)/a )
　+ b^3/6・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+a)/b )　　…(答え)