質問<2216>2005/2/24
二重積分なんですが、 \int_{-x_0}^{x_0} \int_{-y_0}^{y_0} \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2} dxdy って解析的に解けますでしょうか。 ちなみにx_0,y_0は相関のない定数(>=0)、あとa,bも定数(>=0)っていうだけです。 極座標に変換してもr,\thetaの範囲がよく分からないし、八方ふさがりで困ってます。 よろしくお願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/2/17
from=angel
z=(x^2+y^2)^(1/2) とした時の、0≦x≦a,0≦y≦b の範囲での ∬zdxdy が分かれば十分、と考えて計算する。 ※他の範囲の場合は、領域の切り貼りで対応できるため。 例えば、0≦x1≦x≦x2,0≦y1≦y≦y2 であれば、 0≦x≦x2,0≦y≦y2 の部分から、 0≦x≦x1,0≦y≦y2、0≦x≦x2,0≦y≦y1 の部分を引き、 0≦x≦x1,0≦y≦y1 の部分を足すことで対処できる。 まずは、極座標に変換し、3つの領域で分けて考える。 ∬[0≦x≦a,0≦y≦b] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy = ∬[0≦x^2+y^2≦a^2+b^2] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy - ∬[a^2≦x^2+y^2≦a^2+b^2,x≧a] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy - ∬[b^2≦x^2+y^2≦a^2+b^2,y≧b] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy = ∬[0≦r≦(a^2+b^2)^(1/2),0≦θ≦π/2] r^2 drdθ - ∬[a≦r≦(a^2+b^2)^(1/2),0≦θ≦arccos(a/r)] r^2 drdθ - ∬[b≦r≦(a^2+b^2)^(1/2),arcsin(b/r)≦θ≦π/2] r^2 drdθ = ∫[0,(a^2+b^2)^(1/2)] π/2・r^2 dr - ∫[a,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(a/r) dr - ∫[b,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・(π/2 - arcsin(b/r)) dr = π/6・(a^2+b^2)^(3/2) - ∫[a,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(a/r) dr - ∫[b,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(b/r) dr …(1) ここで、∫r^2・arccos(p/r) dr を求める。 t = p/r として置換、 r = p/t, dt = -p/r^2・dr ∫r^2・arccos(p/r) dr = ∫r^2・arccos(p/r)・(-r^2/p) dt = -1/p・∫r^4・arccos(p/r) dt = -1/p・∫(p/t)^4・arccos(t) dt = -p^3・∫t^(-4)・arccos(t) dt …(2) 次に、∫t^(-4)・arccos(t) dt を求める。 部分積分により、 ∫t^(-4)・arccos(t) dt = -1/3・t^(-3)・arccos(t) - 1/3・∫t^(-3)・(1-t^2)^(-1/2) dt = -1/3・t^(-3)・arccos(t) + 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(-1/2) - 1/6・∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt …(3) 更に、∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt を求める。 その前に、 ∫1/cosφ dφ = 1/2・log( (1+sinφ)/(1-sinφ) ) なぜなら ∫1/cosφ dφ = ∫1/sin(π/2+φ) dφ = ∫1/2sin(π/4+φ/2)cos(π/4+φ/2) dφ = ∫( (sin(π/4+φ/2))^2+(cos(π/4+φ/2))^2 )/2sin(π/4+φ/2)cos(π/4+φ/2) dφ = ∫( sin(π/4+φ/2)/2cos(π/4+φ/2) + cos(π/4+φ/2)/2sin(π/4+φ/2) )dφ = -log|cos(π/4+φ/2)| + log|sin(π/4+φ/2)| ) = log| sin(π/4+φ/2)/cos(π/4+φ/2) | +C = 1/2・log( 2(sin(π/4+φ/2))^2/2(cos(π/4+φ/2))^2 ) +C = 1/2・log( (1-cos(π/2+φ))/(1+cos(π/2+φ)) ) +C = 1/2・log( (1+sinφ)/(1-sinφ) ) t = cosφ として置換 dt = -sinφ dφ, sinφ=(1-t^2)^(1/2) ∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt = -∫1/(cosφ(sinφ)^2)dφ = -∫((cosφ)^2+(sinφ)^2)/(cosφ(sinφ)^2)dφ = -∫( cosφ(sinφ)^(-2) + 1/cosφ )dφ = 1/(sinφ) - 1/2・log( (1+sinφ)/(1-sinφ) ) +C = (1-t^2)^(-1/2) - 1/2・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2)^(1/2)) ) +C …(4) (3),(4) より ∫t^(-4)・arccos(t) dt = -1/3・t^(-3)・arccos(t) + 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(-1/2) - 1/6・∫1/t・(1-t^2)^(-3/2) dt = -1/3・t^(-3)・arccos(t) + 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(-1/2) - 1/6・(1-t^2)^(-1/2) + 1/12・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2))^(1/2) ) +C = -1/3・t^(-3)・arccos(t) + 1/6・t^(-2)・(1-t^2)^(1/2) + 1/12・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2))^(1/2) ) +C …(5) (2),(5)より、 ∫r^2・arccos(p/r) dr = -p^3・∫t^(-4)・arccos(t) dt = p^3/3・t^(-3)・arccos(t) - p^3/6・t^(-2)・(1-t^2)^(1/2) - p^3/12・log( (1+(1-t^2)^(1/2))/(1-(1-t^2)^(1/2)) ) +C = r^3/3・arccos(p/r) - pr/6・(r^2-p^2)^(1/2) - p^3/12・log( (r+(r^2-p^2)^(1/2))/(r-(r^2-p^2)^(1/2)) ) +C …(6) (1),(6)より、 ∬[0≦x≦a,0≦y≦b] (x^2+y^2)^(1/2) dxdy = π/6・(a^2+b^2)^(3/2) - ∫[a,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(a/r) dr - ∫[b,(a^2+b^2)^(1/2)] r^2・arccos(b/r) dr = π/6・(a^2+b^2)^(3/2) - 1/3・(a^2+b^2)^(3/2)・arccos(a(a^2+b^2)^(-1/2)) + 1/6・ab(a^2+b^2)^(1/2) + a^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+b)/((a^2+b^2)^(1/2)-b) ) - 1/3・(a^2+b^2)^(3/2) /3・arccos(b(a^2+b^2)^(-1/2)) + 1/6・ab(a^2+b^2)^(1/2) + b^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+a)/((a^2+b^2)^(1/2)-a) ) = π/6・(a^2+b^2)^(3/2) - 1/3・(a^2+b^2)^(3/2)・( arccos(a(a^2+b^2)^(-1/2)) + arccos(b(a^2+b^2)^(-1/2)) )+ 1/3・ab(a^2+b^2)^(1/2) + a^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+b)^2/((a^2+b^2)^(1/2)+b)((a^2+b^2)^(1/2)-b) ) + b^3/12・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+a)^2/((a^2+b^2)^(1/2)+a)((a^2+b^2)^(1/2)-a) ) = 1/3・ab(a^2+b^2)^(1/2) + a^3/6・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+b)/a ) + b^3/6・log( ((a^2+b^2)^(1/2)+a)/b ) …(答え)