質問＜２２３＞２０００／２／４
from=kucyami
「行列」

（A+B）C＝AC+BC
行数列で上のことが成り立つことを証明しなさい。
ッテ言う問題なんですが　高校でなくて実は大学で勉強して
るんですが…行列について学んでいます。
もしよろしければ、教えて下さい。

お返事２０００／２／４
from=武田

足し算と引き算は「同じ量」どうしについての演算です。
だから行列で言うと、同型の行列をさします。今、行列Ａ、Ｂ
を２×３型の行列としましょう。
（ａ11　ａ12　ａ13）　（ｂ11　ｂ12　ｂ13）
（　　　　　　　　），（　　　　　　　　）
（ａ21　ａ22　ａ23）　（ｂ21　ｂ22　ｂ23）

一方、かけ算は「異なる量」の演算です。特に数のかけ算は
　　　　１あたり量×いくつ分＝全体量
と言う仕組みからできています。これらはすべて異なる量で
す。例えば、キャラメル１０個入りの箱で言いますと、
　　　　１０個／箱　×　３箱　＝３０個
となります。１あたり量が１０個／箱で、いくつ分が３箱、
全体量が３０個と言う異なる量間の演算です。ベクトルの内
積や、行列のかけ算は演算が成り立つために足枷があります。
かける個数が１対１対応しているということです。
例えば、野菜の単価の行列
（ニンジン５０円／本　ほうれん草８０円／輪）
と購入する個数の行列
（ニンジン３本　）
（　　　　　　　）
（ほうれん草２輪）
この２つの行列は１×２型行列と２×１型行列だから異質の
行列だが、かけ算をすると、
ニンジン５０円／本×３本＋ほうれん草８０円／輪×２輪
＝１５０＋１６０
＝３１０円と言う合計金額がでてくる。これは
（合計金額３１０円）と言う１×１型の行列である。
斯様に、かけ算は、数と同様「異なる量」の演算なのである。

したがって、行列Ｃを３×１型の行列とする。
（ｃ11）
（ｃ21）
（ｃ31）

Ａ、Ｂが２×３型、Ｃが３×１型のとき、
Ａ＋Ｂ

　（ａ11　ａ12　ａ13）　（ｂ11　ｂ12　ｂ13）
＝（　　　　　　　　）＋（　　　　　　　　）
　（ａ21　ａ22　ａ23）　（ｂ21　ｂ22　ｂ23）

　（ａ11＋ｂ11　ａ12＋ｂ12　ａ13＋ｂ13）
＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　（ａ21＋ｂ21　ａ22＋ｂ22　ａ23＋ｂ23）
より、

左辺＝（Ａ＋Ｂ）×Ｃ

　（ａ11＋ｂ11　ａ12＋ｂ12　ａ13＋ｂ13）　（ｃ11）
＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　）×（ｃ21）
　（ａ21＋ｂ21　ａ22＋ｂ22　ａ23＋ｂ23）　（ｃ31）

　（ａ11ｃ11＋ｂ11ｃ11＋ａ12ｃ21＋ｂ12ｃ21＋ａ13ｃ31＋ｂ13ｃ31）
＝（　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　）
　（ａ21ｃ11＋ｂ21ｃ11＋ａ22ｃ21＋ｂ22ｃ21＋ａ23ｃ31＋ｂ23ｃ31）

　（ａ11ｃ11＋ａ12ｃ21＋ａ13ｃ31）　（ｂ11ｃ11＋ｂ12ｃ21＋ｂ13ｃ31）
＝（　　　　　　　　　　　　　　）＋（　　　　　　　　　　　　　　）
　（ａ21ｃ11＋ａ22ｃ21＋ａ23ｃ31）　（ｂ21ｃ11＋ｂ22ｃ21＋ｂ23ｃ31）

　（ａ11　ａ12　ａ13）　（ｃ11）　（ｂ11　ｂ12　ｂ13）　（ｃ11）
＝（　　　　　　　　）×（ｃ21）＋（　　　　　　　　）×（ｃ21）
　（ａ21　ａ22　ａ23）　（ｃ31）　（ｂ21　ｂ22　ｂ23）　（ｃ31）

＝ＡＣ＋ＢＣ＝右辺
したがって、証明された。