質問<223>2000/2/4
(A+B)C=AC+BC 行数列で上のことが成り立つことを証明しなさい。 ッテ言う問題なんですが 高校でなくて実は大学で勉強して るんですが…行列について学んでいます。 もしよろしければ、教えて下さい。
お返事2000/2/4
from=武田
足し算と引き算は「同じ量」どうしについての演算です。 だから行列で言うと、同型の行列をさします。今、行列A、B を2×3型の行列としましょう。 (a11 a12 a13) (b11 b12 b13) ( ),( ) (a21 a22 a23) (b21 b22 b23) 一方、かけ算は「異なる量」の演算です。特に数のかけ算は 1あたり量×いくつ分=全体量 と言う仕組みからできています。これらはすべて異なる量で す。例えば、キャラメル10個入りの箱で言いますと、 10個/箱 × 3箱 =30個 となります。1あたり量が10個/箱で、いくつ分が3箱、 全体量が30個と言う異なる量間の演算です。ベクトルの内 積や、行列のかけ算は演算が成り立つために足枷があります。 かける個数が1対1対応しているということです。 例えば、野菜の単価の行列 (ニンジン50円/本 ほうれん草80円/輪) と購入する個数の行列 (ニンジン3本 ) ( ) (ほうれん草2輪) この2つの行列は1×2型行列と2×1型行列だから異質の 行列だが、かけ算をすると、 ニンジン50円/本×3本+ほうれん草80円/輪×2輪 =150+160 =310円と言う合計金額がでてくる。これは (合計金額310円)と言う1×1型の行列である。 斯様に、かけ算は、数と同様「異なる量」の演算なのである。 したがって、行列Cを3×1型の行列とする。 (c11) (c21) (c31) A、Bが2×3型、Cが3×1型のとき、 A+B (a11 a12 a13) (b11 b12 b13) =( )+( ) (a21 a22 a23) (b21 b22 b23) (a11+b11 a12+b12 a13+b13) =( ) (a21+b21 a22+b22 a23+b23) より、 左辺=(A+B)×C (a11+b11 a12+b12 a13+b13) (c11) =( )×(c21) (a21+b21 a22+b22 a23+b23) (c31) (a11c11+b11c11+a12c21+b12c21+a13c31+b13c31) =( ) (a21c11+b21c11+a22c21+b22c21+a23c31+b23c31) (a11c11+a12c21+a13c31) (b11c11+b12c21+b13c31) =( )+( ) (a21c11+a22c21+a23c31) (b21c11+b22c21+b23c31) (a11 a12 a13) (c11) (b11 b12 b13) (c11) =( )×(c21)+( )×(c21) (a21 a22 a23) (c31) (b21 b22 b23) (c31) =AC+BC=右辺 したがって、証明された。