質問<2252>2005/3/27
(1)原点から直線(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c へ下ろした垂線の足の座標を求めよ。 (2)原点を通り、2直線 x+1=y=z-2 (x+1)/4=y/2=z-1 の両方に交わる直線の方程式を求めよ。 御教授お願い致します。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/15
from=KINO
シンプルではないかもしれませんが,目的をはっきりと見据えた方針で 臨んでみます。 (1) 直線の式をベクトル表示して取り扱います。 与えられた式の値を t とおくと, x=p+ta, y=q+tb, z=r+tc となりますが, ベクトルを A=(a,b,c), P=(p,q,r), X=(x,y,z) とおくと X=P+tA とみなせます。 原点Oから直線上の点 X までの距離は |X| です。 これが最小の時,OX は最小で,X の位置がちょうど垂線の足になります。 |X| をそのまま最小化しようとすると扱いにくいので,それと同値な方法として |X|^2 を最小化することを考えます。 ふたつのベクトル Y, Z の内積を (Y,Z) と書くことにすると,|X|^2=(X,X) と 内積を使って計算できます。 |X|^2=(P+tA,P+tA)=|A|^2t^2+2(P,A)t+|P|^2. これは t の 2 次関数とみなせますので,平方完成すると |X|^2=|A|^2(t+(P,A)/|A|^2)^2+|P|^2-{(P,A)}^2/|A|^2. |A|^2>0 ですから,|X|^2 が最小になるのは t=-(P,A)/|A|^2 のときです。 従って,これを代入した X=P-{(P,A)/|A|^2}A が求める X の座標を与えます。 この式の幾何学的な意味は,A/|A| が直線の単位方向ベクトルになっていることを 考慮すると, 「P ベクトルから,P の A 方向の射影ベクトル {(P,A/|A|)}A/|A| を引いたもの が直線の原点からの垂線の足の位置ベクトルになる」となります。 ちゃんと成分で書き表すには, P=(p,q,r), (P,A)=pa+qb+rc, |A|^2=a^2+b+2+c^2 を上で得た式に代入すればできます。 (2) 原点を通る直線上の点の位置ベクトルを X とおくと, あるベクトル A=(a,b,c) と実数 t を用いて X=tA と表せます。 ここで,a, b, c の値を適当に定数倍してやれば,t=1 のときに 直線 x+1=y=z-2 と交わると仮定しても問題ありません。 そうすると x=a, y=b, z=c を第一の直線の方程式に代入した a+1=b=c-2 という式を得ます。これらから,a=b-1, c=b+2 とかけます。 求める直線が t=s のときに第二の直線と交わるとすると, (sa+1)/4=sb/2=sc-1 を得ます。これらに a=b-1, c=b+2 を代入して (sb-s+1)/4=sb/2=sb+2s-1. これらの式を2つの方程式の連立方程式に書き直します。 sb-s+1=2sb, (i) sb=2sb+4s-2. (ii) (i) より sb=1-s. (iii) これを (ii) に代入すると, 1-s=2-2s+4s-2=2s. よって s=1/3 となります。 これを (iii) に代入すると,b=2 となり,結果 a=1, c=4 を得ます。 よって,A=(1,2,4) となり,求める直線の方程式は X=t(1,2,4) となります。これは x=t, y=2t, z=4t とも書け,これより t=x=y/2=z/4 となり,t を省いて x=y/2=z/4 となります。
お便り2005/4/17
from=名無し
(1)原点から直線(x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c へ下ろした垂線の足の座標を求めよ。 (x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c=t とおくと x=at+p , y=bt+q , z=ct+r …Ⅰ 直線の方向ベクトルは (a,b,c) であるから、 (a,b,c)・(at+p,bt+q,ct+r)=0 これを解いて、t=-(ap+bq+cr)/(a^2+b^2+c^2) これを I に代入しておしまい。 (2)原点を通り、2直線 x+1=y=z-2 (x+1)/4=y/2=z-1 の両方に交わる直線の方程式を求めよ。 x+1=y=z-2=t とおくと x=t-1 , y=t , z=t+2 (x+1)/4=y/2=z-1=s とおくと x=4s-1 , y=2s , z=s+1 この2点を通る直線の方向ベクトルは (t-4s,t-2s,t-s+1) これがそれぞれの直線の方向ベクトル直交すればよいから (t-4s,t-2s,t-s+1)・(1,1,1)=0 (t-4s,t-2s,t-s+1)・(4,2,1)=0 この連立方程式を解くと s=-2/7 , t=-1 よって、もとの式に代入して (-2,-1,1),(-15/7,4/7,-1/7)を通る直線であるから x=-p+(-2) , y=-11p+(-1) , z=2p+1 -(x+2) = -(y+1)/11 = (z-1)/2 計算ミスしてたらごめんなさい。
お便り2005/11/10
from=/で
「名無し」さんの解答について (2)ですが、「原点を通り、与2直線と交わる直線」ですので、 名無しさんの「直交すればよいから」は違うと思います。 P(t-1,t,t+2), Q(4s-1,2s,s+1)とすると 題意から、kを実数として、k*OP = OQ (←OP,OQはベクトルのつもり) すなわち、 k(t-1,t,t+2)=(4s-1,2s,s+1) とおけるので、 k(t-1) = 4s-1 kt = 2s k(t+2) = s+1 の連立を解いて、k=1/3, s=1/3, t=2 2直線上のそれぞれの点の座標は、 P(1,2,4), Q(1/3,2/3,4/3) 求める直線の式は、OP(またはOQ)の式なので x-1 = (y-2)/2 = (z-4)/4