質問<2262>2005/4/1
(1)y=tan^-1xのn次導関数について次に答えよ。 (a) y'=sin(y+π/2)cosyを示せ。 (b) y''=sin(2y+2×π/2)cos^2yを示せ。 (c) y^(n+1)=n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}cos^n+1yを帰納法で示せ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/4/8
from=亀田馬志
これはハッキリ言ってかなり『イヤな』問題です。 まあ、パソコンの表記の問題もありますが、大体やってて『意図』が良く分から ない問題だと感じました。 数学不得手な僕が言うのも何なんですが、『実用的数学』の観点から言うと、 単なるパズルなカンジです。 問題を作った方、ご苦労さんです(笑)。暇なのかよっぽどイジワルな性格ですね(笑)。 取りあえず見て行きましょうか。 (1)y=tan^-1xのn次導関数について次に答えよ。 まず表記の問題ですが、-1乗ってのがパソコンじゃ良く分からなくなります。 そこで代わりに ・y=arctanx って表現を用います。 (a) y'=sin(y+π/2)cosyを示せ ・y=arctanx の微分公式、ってのがあったハズなんですが、見事に忘れています(笑)。 そこで次のように考えたいと思います。 次の関係は同値です。 ・y=arctanx⇔x=tany そこで次の微分公式 ・dy/dx=dy/du*du/dx を使って、x=tanyを『xに付いて』微分したいと思います。 ・1={(secy)^2}*dy/dx dy/dxに付いて整理すると ・dy/dx=(cosy)^2・・・① 普通は『ココで終わり』なんですが(笑)、まだ続きます(苦笑)。 次のように直します。 ・dy/dx=cosy×cosy アトはcosyとsinyの位相差に着目すれば解を示せます。 (b) y''=sin(2y+2×π/2)cos^2yを示せ。 メンド臭いんで、①をそのまま微分したいと思います。 使う公式は依然dy/dx=dy/du*du/dx。これ一本槍で進めます。 ・y''=2cosy*(-siny)*dy/dx =-2sinycosy*dy/dx ここでsin2y=2sinycosyを利用すると ・y''=-sin2y*dy/dx アトは-sin2yとsin2yの位相差を考えて、それと(a)よりdy/dxは既に求められ てるので、 ・y''=sin(2y+π)*(cosy)^2 π=2×π/2に着目すれば、解が導き出せます。 (c) y^(n+1)=n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}cos^n+1yを帰納法で示せ。 『力ワザ』での問題です(苦笑)。基本的に『数学的帰納法』がどうか、と言うより、 『正しく微分出きるか?』の方が大変です。もう本当はメンド臭いんでパソコンで 打ちたくないんですがね(苦笑)。 使う公式は依然dy/dx=dy/du*du/dxです。ちょっと見て行ってみましょう。 i)n=0の場合。 これは(a)で見た通り成り立ってます。なんで『0』からはじめなきゃならんのか 良く分かんないんですけど(笑)。 ii)n+1のトキ、 y^(n+1)=n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}cos^n+1y が正しいと仮定すると……ってのがまあ定石ですね。 n+2のトキは・・・・・・さて、どうなる?ってのが問題の主眼なんですが、 単純に言うと、kazさんの表記法に従うと、 ・y^(n+2)={y^(n+1)}' って事ですよね?要するに ・y^(n+1)=n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}cos^n+1y をそのまま微分して ・y^(n+2)=(n+1)!sin{(n+2)y+(n+2)π/2}cos^n+2y になる事を示せば良い。そんなアタマ使うような問題じゃないです。 ただ計算がシチメンド臭いだけです(笑)。 じゃあ気が重いんですけどやってみまひょか?丁寧に計算追って来て下さい。 ・{y^(n+1)}'=n!cos{(n+1)y+(n+1)π/2}*(n+1)dy/dx*cos^(n+1)y +n!sin{(n+1)y+(n+1)π/2}*(n+1)cos^(n)y*(-siny)*dy/dx =(n+1)*n!*[cos{(n+1)y+(n+1)π/2}*cos^(n+1)y*dy/dx -sin{(n+1)y+(n+1)π/2}*siny*cos^(n)y*dy/dx] ええと、まずココまで。大丈夫でしょうか? ココで(n+1)*n!=(n+1)!、それと(a)の①でdy/dx=cos^(2)yだったんで、 それを利用すると。 {y^(n+1)}'=(n+1)!*[cos{(n+1)y+(n+1)π/2}*cos^(n+1)y*cos^(2)y -sin{(n+1)y+(n+1)π/2}*siny*cos^(n)y*cos^(2)y] =(n+1)!*[cos{(n+1)y+(n+1)π/2}*cos^(n+3)y -sin{(n+1)y+(n+1)π/2}*siny*cos^(n+2)y] =(n+1)!*cos^(n+2)y*[cos{(n+1)y+(n+1)π/2}*cosy -sin{(n+1)y+(n+1)π/2}*siny] とココまで。括り出しは上手く行ったでしょうか? ココで(僕にとっては)懐かしい次の三角関数の公式を使います。 ・cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB これで上記の『幾分長ったらしい部分』ってのが整理出来ますよね? つまり、 {y^(n+1)}'=(n+1)!*cos^(n+2)y*cos{(n+1)y+(n+1)π/2+y} =(n+1)!*cos^(n+2)y*cos{(n+2)y+(n+1)π/2} アトはcos{(n+2)y+(n+1)π/2}とsin{(n+2)y+(n+1)π/2}の位相差を考慮すれば 証明は終了です。 お疲れ様でした。