質問＜２２９２＞２００５／４／１５
from=kaz
「確率論」

 すみませんが、以下の問題をお願い致します。
（１）　M={0,1},N={a,b}とするとき
　　　　①　M^2,M×Nを求めよ。
　　　　②　2^(M^2)を求めよ。

（２）　確率空間（Ω,F,P）において以下を示せ。
　　　　①　任意のA,B∈Fに対して
　　　　　　　　B=(A∩B)∪(A^c∩B)
　　　　を示せ。（分配法則を用いること）

　　　　②　確率の公理「A∩B=φならばP(A∪B)=P(A)+P(B)」を用いて，
　　　　　　任意のA,B∈Fに対して
　　　　　　　　P(B)=P(A∩B)+P(A^c∩B)
　　　　　　を示せ。
（※Ｆは筆記体のような感じです。）
お願い致します。

★希望★完全解答★

お便り２００５／４／１９
from=KINO

(1)の丸1は，M^2=M×M={(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)},
M×N={(0,a),(1,a),(0,b),(1,b)}。
丸2は M^2 の部分集合の集合（べき集合）を求めよ，
という問題だと思われますので，

空集合（要素が 0 個の集合），
{(0,0)}, {(1,0)}, {(0,1)}, {(1,1)}, (要素が 1 個の集合。4つ。)
{(0,0), (1,0)},...,{(1,0),(1,1)}, (要素が 2 個の集合。6つ。)
こういう調子で全て書き下します。
そうしますと，要素が 3 個の部分集合は 4 つ，
要素が 4 個の部分集合は M^2 自身となります。
これらを全部まとめて
{空集合，{(0,0)}, {(1,0)}, {(0,1)}, {(1,1)},{(0,0), (1,0)},
...,{(1,0),(1,1)},...,M^2}
と長い式を書けばそれが答えになります。

(2)丸1 すでにヒントにあるように分配法則を使ってみてください。
その際，空集合を 0 と書くことにすると，
Fの任意の部分集合Xに対して
0∩X=0, 0∪X=X,
F∩X=X, F∪X=F,
X∩X^c=0, X∪X^c=F
といった計算規則を利用すれば証明できると思います。

丸2 X=A∩B, Y=A^c∩B とおくと X∩Y=0 なので，ヒントに述べられている
確率の公理を利用すると
P(X∪Y)=P(X)+P(Y).
丸1より X∪Y=B ですので，これで証明が終わります。