質問

1.ａ1＝２７　ａn+1＝1/3･ａn＾2
2.ａ1＝３　　（ｎ+１）ａn+1＝ａn＾2－１
この二つの漸化式を解いて下さい。全く解りません

★希望★完全解答★

お便り２００５／５／２
from=KINO

どちらの問題も，実際に a[2], a[3] などを具体的に求めてみて，その上で一般項の
形を予想して，その予想が正しいことを数学的帰納法を用いて証明する，というのを
期待しているような問題に見えます。

こういう，解法が一見してよくわからないものは実験してみることをお勧めします。
そうすると規則性が見えてきて，どうすればよいか方針が立つかもしれません。

1. は次のようにしてできます。初項と漸化式より，全ての n につき a[n]>0 である
ことは明らかです。
（厳密には数学的帰納法で証明します。）
漸化式の両辺の底を3とする対数（底は実際には何でも構いませんが，こうしておく
と計算が見やすくなります）をとり，b[n]=log[3](a[n]) とおくと，
b[1]=log[3]27=3, b[n+1]=2b[n]-1.
この両辺を 2^(n+1) で割って c[n]=b[n]/2^n とおくと，
c[1]=3/2, c[n+1]=c[n]-1/2^(n+1) という漸化式を得ます。この漸化式において，両
辺を n=1 から k まで和をとると，
(c[2]+c[3]+...+c[k])+c[k+1]=c[1]+(c[2]+...+c[k])-1/2+1/2^(k+1).
( ) の中身は両辺同じなので，c[k+1]=c[1]-1/2+1/2^(k+1)=1+1/2^(k+1). 
これより，すべての番号 n に対して c[n]=1+1/2^n となることがわかりました(n=1 
のときもちゃんと成り立ちます)。
この両辺に 2^n をかければ b[n] になるので，
b[n]=2^n+1.
よって a[n]=3^(2^n+1).

2. a[2], a[3] を具体的に求めてみると，なんとなく a[n]=n+2 となるような気がし
てきます。
数学的帰納法でこの予想が正しいことを証明すればよいのですが，ポイントだけ述べ
ます。

a[k]=k+2 と仮定すると，(k+1)a[k+1]=a[n]^2-1=(k+2)^2-1=(k+1)(k+3) となり，両辺
を k+1 で割って a[k+1]=k+3=(k+1)+2 を得ます。
すなわち，a[k]=k+2 という式が成り立てば，a[k+1]=(k+1)+2 という式も成り立つこ
とが示されました。

お便り２００５／５／２
from=wakky

この２題は漸化式の変形などから直接一般項を求めるのは難しいと思います。
こういうときは、「推定」→「数学的帰納法」が有効だと思います。

１．
ａ１＝３^3，ａ２＝３^5，ａ３＝３^9，ａ４＝３^17
指数部分を並べてみると
３，５，９，１７
この階差をとると
２，４，８・・・
階差数列の一般項は２^nと考えられるから
指数部分の一般項は
（２^ｎ）＋１となります。
したがって
ａｎ＝３^｛（2^n）＋１｝
であると推定できますね。
あとは与えられた漸化式を利用して、数学的帰納法で解決です。

２．
１．と同様に推定すると
ａｎ＝ｎ＋２となるようです。
これも数学的帰納法で証明してみましょう。
ちゃんと成り立ちます。