質問

点Oを中心とする半径1の円Sの1つの直径の両端点をA,Bとする。
点A,Bを除くS上の点PにおけるSの接線に点Aから下ろした垂線の足をQとし、
点Qから直線ABに下ろした垂線の足をRとする。また∠BOP＝θとする。
このとき次の問いに答えよ。
（1）線分AQの長さをθを用いて表せ。
（2）三角形PQRの面積の最大値を求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／６／２２
from=wakky

（１）
まず、図を書いてみましょう（省略）
題意から０°＜θ＜１８０°
直線ＰＱと直線ＡＢの交点をＣとすると
ＯＰ＝１＝ＯＣｃｏｓθ ｛あるいはｃｏｓ（１８０°－θ）｝
ゆえに ＯＣ＝１／ｃｏｓθ
よって
ＡＱ＝（１＋ＯＣ）ｃｏｓθ＝１＋ｃｏｓθ・・（答）

（２）
ＱＲ＝ＡＱｓｉｎθ＝（１＋ｃｏｓθ）ｓｉｎθ
三角形の相似から
ＡＯ：ＱＰ＝ＡＱ：ＰＯ
ゆえに
ＱＰ＝（ＡＯ・ＰＯ）／ＡＱ＝１／ＡＱ＝１／（１＋ｃｏｓθ）
また、∠ＲＱＰ＝θ
△ＰＱＲ＝（１／２）ＱＲ・ＱＰ・ｓｉｎθ
       ＝（１／２）ｓｉｎ^2θ
これが最大となるのは
０°＜θ＜１８０°からθ＝９０°のときで
最大値は１／２
これは
直線ＡＢと接線Ｓが平行なとき
点Ａと点Ｒが一致して
△ＰＱＲは∠Ｑ＝９０°、ＰＱ＝ＲＱ＝１の
直角二等辺三角形であるとき。