質問<2369>2005/5/21
点Oを中心とする半径1の円Sの1つの直径の両端点をA,Bとする。 点A,Bを除くS上の点PにおけるSの接線に点Aから下ろした垂線の足をQとし、 点Qから直線ABに下ろした垂線の足をRとする。また∠BOP=θとする。 このとき次の問いに答えよ。 (1)線分AQの長さをθを用いて表せ。 (2)三角形PQRの面積の最大値を求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2005/6/22
from=wakky
(1) まず、図を書いてみましょう(省略) 題意から0°<θ<180° 直線PQと直線ABの交点をCとすると OP=1=OCcosθ {あるいはcos(180°-θ)} ゆえに OC=1/cosθ よって AQ=(1+OC)cosθ=1+cosθ・・(答) (2) QR=AQsinθ=(1+cosθ)sinθ 三角形の相似から AO:QP=AQ:PO ゆえに QP=(AO・PO)/AQ=1/AQ=1/(1+cosθ) また、∠RQP=θ △PQR=(1/2)QR・QP・sinθ =(1/2)sin^2θ これが最大となるのは 0°<θ<180°からθ=90°のときで 最大値は1/2 これは 直線ABと接線Sが平行なとき 点Aと点Rが一致して △PQRは∠Q=90°、PQ=RQ=1の 直角二等辺三角形であるとき。