質問＜２３８＞２０００／３／２２
from=oono
「三項間の漸化式」

初めて質問させていただきます。
全然わからなくて困っています。
Anって書きにくいのでf(n)と書きます。

問題
bを０でない定数とし、次の漸化式で数列｛f(n)｝を定義する。
f(0)=1,f(1)=b,(n+1)f(n+1)+bf(n-1)=(n+b)f(n)
(1) (n+1)f(n+1)=bf(n)が成り立つことを証明し、一般項f(n)を求めよ。
(2) n
    Σ｛f(k+2)/f(k)｝
   k=0 

お返事２０００／３／２３
from=武田

問１
（１）(n+1)f(n+1)＝bf(n)を数学的帰納法で証明します。
　　　①ｎ＝０のとき、
　　　　　　左辺＝(0+1)f(0+1)＝f(1)＝b
　　　　　　右辺＝bf(0)＝b・1＝b
　　　　　　∴左辺＝右辺
　　　②ｎ＝ｋのとき、与式が成り立つと仮定して、
　　　　　　(k+1)f(k+1)＝bf(k)
　　　　ｎ＝ｋ＋１のときを証明する。
　　　　　　左辺＝(k+1+1)f(k+1+1)＝(k+2)f(k+2)
　　　　　　条件式(n+1)f(n+1)+bf(n-1)=(n+b)f(n)に、n=k+1を代入して、
　　　　　　　　　(k+2)f(k+2)＝－bf(k)＋(k+1+b)f(k+1)
　　　　　　左辺＝－bf(k)＋(k+1+b)f(k+1)
　　　　　　　　＝－bf(k)＋(k+1)f(k+1)＋bf(k+1)
　　　　　　仮定より、
　　　　　　左辺＝－bf(k)＋bf(k)＋bf(k+1)
　　　　　　　　　　　　　^^^^^^
　　　　　　　　＝bf(k+1)
　　　　　　右辺＝bf(k+1)
　　　　　　∴左辺＝右辺
　　　したがって、①②より、すべての自然数ｎに対して、与式が成り立つ。

（２）与式(n+1)f(n+1)＝bf(n)より、一般項f(n)を求めると、
　　　ｎ＝０のとき、(0+1)f(0+1)＝bf(0)　∴ｆ（１）＝ｂ
　　　ｎ＝１のとき、(1+1)f(1+1)＝bf(1)　∴ｆ（２）＝(1/2)ｂ2
　　　ｎ＝２のとき、(2+1)f(2+1)＝bf(2)　∴ｆ（３）＝(1/6)ｂ3
　　　ｎ＝３のとき、(3+1)f(3+1)＝bf(3)　∴ｆ（４）＝(1/24)ｂ4
　　　したがって、
　　　　　　　　　　　　　　　　ｂn
　　　　　　　一般項ｆ（ｎ）＝───　……（答）
　　　　　　　　　　　　　　　 ｎ！

問２
　　　　　　　　　　　　　ｂk+2
　　　　　　　　　　　──────
ｎ　ｆ（ｋ＋２）　ｎ　（ｋ＋２）！　　ｎ　　ｂ2
Σ　──────＝Σ　──────　＝Σ　──────
k=0　ｆ（ｋ）　　k=0　　　ｂk　　　　k=0　(k+2)(k+1)
　　　　　　　　　　　　───
　　　　　　　　　　　　　ｋ！

　　　ｎ　　　　１　　　　１
＝ｂ2 Σ　（────－────）
　　　k=0　　ｋ＋１　　ｋ＋２

　　　　　１　１　　　１　１　　　１　１　　　　　　　１　　　１
＝ｂ2 ｛（─－─）＋（─－─）＋（─－─）＋……＋（───－───）｝
　　　　　１　２　　　２　３　　　３　４　　　　　　ｎ＋１　ｎ＋２

　　　　　　　１　　　ｎ＋１
＝ｂ2 （１－───）＝───・ｂ2　……（答）
　　　　　　ｎ＋２　　ｎ＋２