質問<238>2000/3/22
初めて質問させていただきます。 全然わからなくて困っています。 Anって書きにくいのでf(n)と書きます。 問題 bを0でない定数とし、次の漸化式で数列{f(n)}を定義する。 f(0)=1,f(1)=b,(n+1)f(n+1)+bf(n-1)=(n+b)f(n) (1) (n+1)f(n+1)=bf(n)が成り立つことを証明し、一般項f(n)を求めよ。 (2) n Σ{f(k+2)/f(k)} k=0
お返事2000/3/23
from=武田
問1 (1)(n+1)f(n+1)=bf(n)を数学的帰納法で証明します。 ①n=0のとき、 左辺=(0+1)f(0+1)=f(1)=b 右辺=bf(0)=b・1=b ∴左辺=右辺 ②n=kのとき、与式が成り立つと仮定して、 (k+1)f(k+1)=bf(k) n=k+1のときを証明する。 左辺=(k+1+1)f(k+1+1)=(k+2)f(k+2) 条件式(n+1)f(n+1)+bf(n-1)=(n+b)f(n)に、n=k+1を代入して、 (k+2)f(k+2)=-bf(k)+(k+1+b)f(k+1) 左辺=-bf(k)+(k+1+b)f(k+1) =-bf(k)+(k+1)f(k+1)+bf(k+1) 仮定より、 左辺=-bf(k)+bf(k)+bf(k+1) ^^^^^^ =bf(k+1) 右辺=bf(k+1) ∴左辺=右辺 したがって、①②より、すべての自然数nに対して、与式が成り立つ。 (2)与式(n+1)f(n+1)=bf(n)より、一般項f(n)を求めると、 n=0のとき、(0+1)f(0+1)=bf(0) ∴f(1)=b n=1のとき、(1+1)f(1+1)=bf(1) ∴f(2)=(1/2)b2 n=2のとき、(2+1)f(2+1)=bf(2) ∴f(3)=(1/6)b3 n=3のとき、(3+1)f(3+1)=bf(3) ∴f(4)=(1/24)b4 したがって、 bn 一般項f(n)=─── ……(答) n! 問2 bk+2 ────── n f(k+2) n (k+2)! n b2 Σ ──────=Σ ────── =Σ ────── k=0 f(k) k=0 bk k=0 (k+2)(k+1) ─── k! n 1 1 =b2 Σ (────-────) k=0 k+1 k+2 1 1 1 1 1 1 1 1 =b2 {(─-─)+(─-─)+(─-─)+……+(───-───)} 1 2 2 3 3 4 n+1 n+2 1 n+1 =b2 (1-───)=───・b2 ……(答) n+2 n+2