質問＜２３９９＞２００５／５／３０
from=高校３年生
「帰納法での証明」

１＋１／２^2＋１／３^2＋…＋１／n^2＜７／４－１／n
がｎ≧３のとき成り立つことを証明せよ。
という問題ですが全く分かりません。
６／１の朝までには解いておかないといけないので
できるだけ早くお願いします・

★希望★完全解答★

お返事２００５／５／３１
from=武田

ｎ≧３のすべての自然数ｎについて、次の不等式を数学的帰納法で証明すると、
１＋１／２^2＋１／３^2＋…＋１／n^2＜７／４－１／n

①ｎ＝３のとき、
　　　１＋１／２^2＋１／３^2＜７／４－１／３
　　　となることを証明する。
　　　左辺－右辺＝（１＋１／２^2＋１／３^2）－（７／４－１／３）
　　　　　　　　＝１＋１／４＋１／９－７／４＋１／３
　　　　　　　　＝－１／１８＜０
　　　∴左辺＜右辺
②ｎ＝ｋのとき、
　　　１＋１／２^2＋１／３^2＋…＋１／ｋ^2＜７／４－１／ｋ
　　　が成り立つと仮定して、
　ｎ＝ｋ＋１のとき、
　　　１＋１／２^2＋１／３^2＋…＋１／（ｋ＋１）^2＜７／４－１／（ｋ＋１）
　　　となることを証明する。
　　　左辺－右辺＝｛１＋１／２^2＋１／３^2＋…＋１／（ｋ＋１）^2｝
　　　　　　　　　　－｛７／４－１／（ｋ＋１）｝
　　　　　　　　＜７／４－１／ｋ＋１／（ｋ＋１）^2－７／４＋１／（ｋ＋１）
　　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^
　　　　　　　　　－（ｋ＋１）^2＋ｋ＋ｋ（ｋ＋１）　　　－１
　　　　　　　　＝――――――――――――――――＝―――――――＜０
　　　　　　　　　　　　　ｋ（ｋ＋１）^2　　　　　　ｋ（ｋ＋１）^2
　　　∴左辺＜右辺
①②より、ｎ≧３のすべての自然数ｎについて与式が成り立つことが証明できた。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｑ．Ｅ．Ｄ．