質問<250>2000/4/17
こんにちは。いつもていねいにお答え下さりありがとうございます。 質問 二項定理の数学的帰納法を用いて証明せよ。 問題集に解答がのっているのですが、n=kが成り立つと仮定した後 からn=k+1の場合の展開式がよくわかりませんでした。 なるべくゆっくり教えてください。 Cの記号やΣの両端のちいさい数字を打つにはなにか特別なプログラ ムが必要ですか?
お返事2000/4/18
from=武田
二項定理 (a+b)n =n C0 an +n C1 an-1 b+n C2 an-2 b2 +……+n Cn bn う。 (1)n=1のとき 左辺=(a+b)1 =a+b 右辺=1 C0 a1 +1 C1 b1 =1・a+1・b=a+b したがって、左辺=右辺 (2)n=kのとき、下の式が成り立つと仮定して、 (a+b)k =k C0 ak +k C1 ak-1 b+k C2 ak-2 b2 +……+k Ck bk n=k+1のときも成り立つことを証明すると、 左辺=(a+b)k+1 =(a+b)・(a+b)k =(a+b)・{k C0 ak +k C1 ak-1 b+k C2 ak-2 b2 +……+k Ck bk } =k C0 ak+1 +k C1 ak b+k C2 ak-1 b2 +……+k Ck abk +k C0 ak b+k C1 ak-1 b2 +k C2 ak-2 b3 +……+k Ck bk+1 =k C0 ak+1 +(k C1 +k C0 )ak b+(k C2 +k C1 )ak-1 b2 +…… +(k Ck +k Ck-1 )abk +k Ck bk+1 組合せの公式 n Cr +n Cr-1 =n+1 Cr 、n C0 =n+1 C0 =1、n Cn =n+1 Cn+1 =1 より、 左辺=k+1 C0 ak+1 +k+1 C1 ak b+k+1 C2 ak-1 b2 +…… +k+1 Ck abk +k+1 Ck+1 bk+1 =右辺 したがって、(1)(2)より、すべての自然数nにおいて、二項定理は成り立つ。 (追伸) Cの記号やΣの両端のちいさい数字は、ホームページを書くときだけ使えるHTML 言語で表現できますが、普通のテキスト文では表せません。 <sub>n</sub>C<sub>r</sub>を半角で書くと n Cr となります。