質問＜２５０＞２０００／４／１７
from=Minako
「二項定理の数学的帰納法による証明」

こんにちは。いつもていねいにお答え下さりありがとうございます。

質問
二項定理の数学的帰納法を用いて証明せよ。

問題集に解答がのっているのですが、n＝kが成り立つと仮定した後
からn＝k+1の場合の展開式がよくわかりませんでした。
なるべくゆっくり教えてください。

Cの記号やΣの両端のちいさい数字を打つにはなにか特別なプログラ
ムが必要ですか？

お返事２０００／４／１８
from=武田

二項定理
（ａ＋ｂ）n ＝n Ｃ0 ａn ＋n Ｃ1 ａn-1 ｂ＋n Ｃ2 ａn-2 ｂ2 ＋……＋n Ｃn ｂn 
う。
（１）ｎ＝１のとき
　　　　左辺＝（ａ＋ｂ）1 ＝ａ＋ｂ
　　　　右辺＝1 Ｃ0 ａ1 ＋1 Ｃ1 ｂ1 
　　　　　　＝１・ａ＋１・ｂ＝ａ＋ｂ
　　　　したがって、左辺＝右辺
（２）ｎ＝ｋのとき、下の式が成り立つと仮定して、
　　　　（ａ＋ｂ）k ＝k Ｃ0 ａk ＋k Ｃ1 ａk-1 ｂ＋k Ｃ2 ａk-2 ｂ2 ＋……＋k Ｃk ｂk 
　　　ｎ＝ｋ＋１のときも成り立つことを証明すると、
　　　　左辺＝（ａ＋ｂ）k+1 ＝（ａ＋ｂ）・（ａ＋ｂ）k 

　　　　　　＝（ａ＋ｂ）・｛k Ｃ0 ａk ＋k Ｃ1 ａk-1 ｂ＋k Ｃ2 ａk-2 ｂ2 ＋……＋k Ｃk ｂk ｝

　　　　　　＝k Ｃ0 ａk+1 ＋k Ｃ1 ａk ｂ＋k Ｃ2 ａk-1 ｂ2 ＋……＋k Ｃk ａｂk 

　　　　　　　＋k Ｃ0 ａk ｂ＋k Ｃ1 ａk-1 ｂ2 ＋k Ｃ2 ａk-2 ｂ3 ＋……＋k Ｃk ｂk+1 

　　　　　　＝k Ｃ0 ａk+1 ＋（k Ｃ1 ＋k Ｃ0 ）ａk ｂ＋（k Ｃ2 ＋k Ｃ1 ）ａk-1 ｂ2 ＋……

　　　　　　　＋（k Ｃk ＋k Ｃk-1 ）ａｂk ＋k Ｃk ｂk+1 

組合せの公式　n Ｃr ＋n Ｃr-1 ＝n+1 Ｃr 、n Ｃ0 ＝n+1 Ｃ0 ＝１、n Ｃn ＝n+1 Ｃn+1 ＝１　より、

　　　　左辺＝k+1 Ｃ0 ａk+1 ＋k+1 Ｃ1 ａk ｂ＋k+1 Ｃ2 ａk-1 ｂ2 ＋……

　　　　　　　＋k+1 Ｃk ａｂk ＋k+1 Ｃk+1 ｂk+1 

　　　　　　＝右辺

したがって、（１）（２）より、すべての自然数ｎにおいて、二項定理は成り立つ。

（追伸）
Cの記号やΣの両端のちいさい数字は、ホームページを書くときだけ使えるＨＴＭＬ
言語で表現できますが、普通のテキスト文では表せません。
＜ｓｕｂ＞ｎ＜／ｓｕｂ＞Ｃ＜ｓｕｂ＞ｒ＜／ｓｕｂ＞を半角で書くと　n Ｃr 　となります。