質問

三角形ＯＡＢで、辺ＯＡを３：２に内分する点をＣ，辺ＯＢを１：２に
内分する点をＤとする。
（１）線分ＡＤとＢＣの交点をＰ，直線ＯＰと辺ＡＢの交点をＱとすると、

ベクトルＯＰ＝（ア／イ）ベクトルＯＡ＋（ウ／エ）ベクトルＯＢ
ベクトルＯＱ＝（オ／カ）ベクトルＯＰである。

（２）線分ＡＣ上に点Ｅ、線分ＢＤ上に点Ｆをとり、線分ＥＦが点Ｐを通る
ようにする。
ベクトルＯＥ＝αベクトルＯＣ、ベクトルＯＦ＝βベクトルＯＤとすると、
α、βの間には

（１／キ）×（（ク／α）＋（ケ／β））＝１の関係が成り立つ。

★希望★完全解答★

お便り２００５／１０／２
from=wakky

ベクトルを示す→は省略します。
→がつくか、つかないかは、読み取ってください。
（１）
ＯＡ＝ａ、ＯＢ＝ｂとおく
ＯＣ＝（３／５）ａで
点Ｐは線分ＢＣ上にあるから
ＯＰ＝ｓＯＣ＋（１－ｓ）ＯＢとおける
∴ＯＰ＝（３ｓ／５）ａ＋（１－ｓ）ｂ・・①
ＯＤ＝（１／３）ｂで
点Ｐは線分ＡＤ上にあるから
ＯＰ＝ｔａ＋｛（１－ｔ）／３｝ｂ・・②とおける
ａとｂは互いに平行ではなく、０ベクトルでないから
①②から、（３ｓ／５）＝ｔ、１－ｓ＝（１－ｔ）／３
これを解いて
ｓ＝５／６、ｔ＝１／２
よって
ＯＰ＝（１／２）ａ＋（１／６）ｂ
　　＝（１／２）ＯＡ＋（１／６）ＯＢ・・（答）
点Ｏ，Ｐ，Ｑは一直線上にあるから
ＯＱ＝ｋＯＰ・・③（ｋは０でない実数）とおける
前問から
ＯＱ＝（ｋ／２）ａ＋（ｋ／６）ｂ
また点Ｑは線分ＡＢ上にあるから
ＯＱ＝ｘａ＋（１－ｘ）ｂ・・④とおける
従って、③④から前問と同様に
ｘ＝ｋ／２、１－ｘ＝ｋ／６
これを解いてｋ＝３／２
∴ＯＱ＝（３／２）ＯＰ・・（答）
※チェバの定理やメネラウスの定理を利用してもできそうです。

（２）
点Ｐは線分ＦＥ上にあるから
ＯＰ＝ｙＯＥ＋（１－ｙ）ＯＥとおける
すなわち
ＯＰ＝（３／５）ｙαａ＋（１／３）（１－ｙ）βｂ・・⑤
また、（１）から
ＯＰ＝（１／２）ａ＋（１／６）ｂ・・⑥
∴（３／５）ｙα＝１／２、（１／３）（１－ｙ）β＝１／６
これらからｙを消去して整理すると
（１／１２）｛（１０／α）＋（６／β）｝＝１・・（答）

お便り２００５／１０／２
from=wakky

もう初歩的なことですけど
（１／１２）｛（１０／α）＋（６／β）｝＝１・・（答）
は
（１／６）｛（５／α）+（３/β）｝＝1　と整理すべきですね
情けない・・・