質問＜２６４９＞２００５／１０／３０
三角形の重心は中線と対辺の頂点をそれぞれ結んだ線分の交点だということは 分かるのですが、四面体の重心の求め方がよく分かりません。 質問＜３６１＞の回答として武田先生は「四面体の重心Ｇは、頂点Ａから底面ＢＣＤ の重心Ｈに引いた線分を３：１に内分した点である」と書いていらっしゃいま すが、3:1になる理由と証明の仕方を教えていただけませんか。 ★希望★完全解答★
お返事２００５／１０／３０
from=武田
→ → → → 四面体ＡＢＣＤの位置ベクトルを、Ａ（ａ）、Ｂ（ｂ）、Ｃ（ｃ）、Ｄ（ｄ）と すると、 各頂点から対面の三角形の重心へ引いた線は１点で交わり、それが四面体の重心 となる。 → Ａ－ＢＣＤをｓ：１－ｓに内分する点Ｇ1（ｇ1）と、Ｂ－ＡＣＤをｒ：１－ｒに → 内分する点Ｇ2（ｇ2）は一致するから、 → → → → ｂ＋ｃ＋ｄ （１－ｓ）ａ＋ｓ（―――――――） → → → → → ３ ３（１－ｓ）ａ＋ｓ（ｂ＋ｃ＋ｄ） ｇ1＝―――――――――――――――――＝―――――――――――――――― ｓ＋（１－ｓ） ３ → → → → ａ＋ｃ＋ｄ （１－ｒ）ｂ＋ｒ（―――――――） → → → → → ３ ３（１－ｒ）ｂ＋ｒ（ａ＋ｃ＋ｄ） ｇ2＝―――――――――――――――――＝―――――――――――――――― ｒ＋（１－ｒ） ３ → → ｇ1＝ｇ2より、 → → → → → → → → ３（１－ｓ）ａ＋ｓ（ｂ＋ｃ＋ｄ）＝３（１－ｒ）ｂ＋ｒ（ａ＋ｃ＋ｄ） → → → → → （３－３ｓ－ｒ）ａ＋（ｓ－３＋３ｒ）ｂ＋（ｓ－ｒ）ｃ＋（ｓ－ｒ）ｄ＝０ 各ベクトルの実数倍が０となるから、連立して、 ｛３－３ｓ－ｒ＝０………① ｛ｓ－３＋３ｒ＝０………② ｛ｓ－ｒ＝０ ………③ ｛ｓ－ｒ＝０ ………④ ③より、ｓ＝ｒ これを①に代入して ３－３ｓ－ｓ＝０ ３－４ｓ＝０ ３ ∴ｓ＝― ４ ３ １ ｓ：１－ｓ＝―：―＝３：１ ４ ４ したがって、 Ａ－ＢＣＤの線ＡＧ1を３：１に内分する点が、四面体の重心Ｇとなる。 → ちなみに、Ｇ（ｇ）は、 → → → → ｂ＋ｃ＋ｄ １・ａ＋３・――――― → → → → → ３ ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ ｇ＝――――――――――――＝――――――― ３＋１ ４