質問＜２７９＞２０００／６／２５
from=あや
「恒等式」

初めまして。分からないトコ、教えてください。
（１）整式x^3+ax^2+5x+bが(x-1)^2で割り切れるよう
　　　に、定数a,bの値を定めよ。x^3は、xの3乗のつもりです。

（２）3次の整式P(x)をx^2-x+1で割ると-8x+1余り、
　　　3x^2+x+1で 割ると-6x-3余るとき、P(x)を求めよ。

お返事２０００／６／２７
from=武田

問１
（ｘ3 ＋ａｘ2 ＋５ｘ＋ｂ）÷（ｘ－１）2 より、

　　　　　　　　ｘ＋（ａ＋２）
　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ2 －２ｘ＋１）ｘ3 　＋ａｘ2 　　＋５ｘ　　　　　　＋　ｂ
　　　　　　　　ｘ3 　－２ｘ2 　　＋　ｘ
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　（ａ＋２）ｘ2 　　＋４ｘ　　　＋ｂ
　　　　　　　　　　（ａ＋２）ｘ2 －２（ａ＋２）ｘ＋（ａ＋２）
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　（８＋２ａ）ｘ　＋ｂ－ａ－２

割り切れるから、連立して
｛８＋２ａ＝０
｛ｂ－ａ－２＝０
∴ａ＝－４，ｂ＝－２……（答）

問２
３次式より、Ｐ（ｘ）＝ａｘ3 ＋ｂｘ2 ＋ｃｘ＋ｄとおくと、
Ｐ（ｘ）÷（ｘ2 －ｘ＋１）＝Ｑ1 （ｘ）……（－８ｘ＋１）より、

　　　　　　　ａｘ＋（ｂ＋ａ）
　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
ｘ2 －ｘ＋１）ａｘ3 　＋ｂｘ2 　　＋ｃｘ　　　　　　＋　ｄ
　　　　　　　ａｘ3 　－ａｘ2 　　＋ａｘ
　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　（ｂ＋ａ）ｘ2 ＋（ｃ－ａ）ｘ　　　＋　ｄ
　　　　　　　　　（ｂ＋ａ）ｘ2 －（ｂ＋ａ）ｘ　＋（ｂ＋ａ）
　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　（ｃ＋ｂ）ｘ　＋ｄ－ｂ－ａ

余りと比べて、連立して、
｛ｃ＋ｂ＝－８　……①
｛ｄ－ｂ－ａ＝１……②

また、Ｐ（ｘ）÷（３ｘ2 ＋ｘ＋１）＝Ｑ2 （ｘ）……（－６ｘ－３）より、

　　　　　　　（ａ／３）ｘ＋（ｂ／３－ａ／９）
　　　　　　　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
３ｘ2 ＋ｘ＋１）ａｘ3 　　＋ｂｘ2 　　　　＋ｃｘ　　　　＋ｄ
　　　　　　　　ａｘ3 ＋（ａ／３）ｘ2 ＋（ａ／３）ｘ
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　(b-a/3)ｘ2 　＋(c-a/3)ｘ　　　＋ｄ
　　　　　　　　　　　　　(b-a/3)ｘ2 ＋(b/3-a/9)ｘ＋(b/3-a/9)
　　　　　　　────────────────────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　(c-b/3-2a/9)ｘ＋d-b/3+a/9

余りと比べて、連立して、
｛ｃ－ｂ／３－２ａ／９＝－６
｛ｄ－ｂ／３＋ａ／９＝－３
２つの式に９をかけて、
｛９ｃ－３ｂ－２ａ＝－５４……③
｛９ｄ－３ｂ＋ａ＝－２７　……④

④－②×９より、６ｂ＋１０ａ＝－３６……⑤
③－①×９より、－１２ｂ－２ａ＝１８……⑥
⑤×２＋⑥より、１８ａ＝－５４　∴ａ＝－３……⑦
⑦を⑤に代入して、６ｂ－３０＝－３６　６ｂ＝－６　∴ｂ＝－１……⑧
⑦⑧を③に代入して、９ｃ＋３＋６＝－５４
　　　　　　　　　　９ｃ＝－６３　∴ｃ＝－７……⑨
⑦⑧を④に代入して、９ｄ＋３－３＝－２７
　　　　　　　　　　９ｄ＝－２７　∴ｄ＝－３
したがって、
Ｐ（ｘ）＝－３ｘ3 －ｘ2 －７ｘ－３……（答）