質問<293>2000/8/2
どうもこんにちわ!ぷりんです!!。また質問させてください。 質問① (√3 ̄- i )十乗 (―――――) ( 2 ) ★☆次からはこの間送った質問の解答に対する質問です。☆★ 質問Ⅰ 問1ですが【Dが0または平方数になる】という条件だけだとXが整数だけ でなく分数になる可能性もあるのではないですか? 質問Ⅱ 問6の(2)で ・【問の式が複素数の大きさである】と書いてありましたが複素数には大小 はないんじゃないんですか?(問の式が原点からの距離であるというのは納 得できましたが) ・【|a|=√a ̄二乗】は学校で教えてもらいましたが、問の式がなぜ √3 1 √{(――)2+(-―─)2}になるのかわからないので詳しく教えて下さい。 2 2 『よろしくお願いします』
お返事2000/8/2
from=武田
問0 これは力づくで計算しても解けますが、 つまり、 A10=(A2 )5 として計算していくやり方です。 √3-i 1-√3i 1+√3i (────)10=(─────)5 =───── ……(答) 2 2 2 しかしこれは普通、極形式で解きます。 √3-i √3 1 ────=──-─i=cos(-30°)+isin(-30°) 2 2 2 10乗より、 cos10・(-30°)+isin10・(-30°) =cos(-300°)+isin(-300°) =cos60°+isin60° 1 √3 1+√3i =─+──i=───── ……(答) 2 2 2 問1 Xが整数→D=0または平方数 これは必要条件と言っているのだから、 D=0または平方数→Xが整数 と言う十分条件とは違うので、 かまわないと思う。 なお、十分条件はご指摘の通り分数もあるので、成り立たない。 そこで、 y=5とy=4のときのXが整数になるか調べているのである。 この問題ではXは整数になったが、分数が出たときは捨てることになる。 なお、後日別解がわかったので、付記する。 [別解] x2 -3xy+2y2 +4=0 変形して、 (x-2y)(x-y)=-4 2数の積が-4となるのは (-1,4)(-2.2)(-4,1) (1,-4)(2,-2)(4,-1) の6通りある。 この6個について連立方程式を解くと、 例えば {x-2y=-1 {x-y=4 ∴(x,y)=(9,5) 6つのうち、上の3つから答えが(9,5)(6,5)(6,4)とでる。 下の3つは負の整数がでるので、捨て去ることになる。 (感想)こちらの方が簡単だった。 問2 確かに、複素数の大きさ(長さ)というのは変である。正確には複素数の絶対値 と言うべきであった。 しかし、複素数を簡便にやるために自由ベクトルと一体化して考えることが多い。 そのとき、複素数の絶対値は、原点Oから複素数の点Zまで引いたベクトルの大き さ(原点からの距離)として計算したりするので、うっかり複素数の大きさと言っ てしまったのだ。 したがって、 √3-i √3 1 √3 -1 z=────=──-─i は、ベクトルの成分(──,──)と一体化して、 2 2 2 2 2 複素数zの絶対値は、原点から点zまでの距離と考えて √3 -1 |z|=√{(──)2 +(──)2 } 2 2 ベクトルと一体化して考える習慣を付けた方がよいと思う。 例えば、|α-β|は何を表すかというと、 言葉上は複素数αからβを引いた絶対値と言うのだが、これでは意味がわからない。 ベクトルαからベクトルβを引いた、つまり2点α、β間の距離と見た方がわかり やすいわけである。