質問＜２９８０＞２００６／２／２２
from=あや
「証明」

x+y+z=3、（x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0のとき
x,y,zの少なくとも１つは1に等しいことを示せ。

の証明を教えていただけないでしょうか？

★希望★完全解答★

お便り２００６／２／２３
from=angel

証明の最終形が (x-1)(y-1)(z-1)=0 であることと、
3乗の和が出てくることから、
　a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
を利用します。

(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3-3(x-1)(y-1)(z-1)
=(x-1+y-1+z-1)((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-(x-1)(y-1)-(y-1)(z-1)-(z-1)(x-1))
=(x+y+z-3)((x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-(x-1)(y-1)-(y-1)(z-1)-(z-1)(x-1))
=0　(∵x+y+z=3)

よって
3(x-1)(y-1)(z-1)=(x-1)^3+(y-1)^3+(z-1)^3=0

ゆえに x=1 または y=1 または z=1

お便り２００６／２／２３
from=wakky

ｘ－１＝ａ，ｙ－１＝ｂ，ｚ－１＝ｃとおくと
条件より
ａ＋ｂ＋ｃ＝０，ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝０
ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3－３ａｂｃ
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2－ａｂ－ｂｃ－ｃａ）
＝０（∵ａ＋ｂ＋ｃ＝０）
∴ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝３ａｂｃ＝０（∵ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3＝０）
すなわち
ａｂｃ＝０だから
ａ＝０またはｂ＝０またはｃ＝０　なので
ａ，ｂ，ｃのうち少なくとも１つは０に等しい
つまり
ｘ，ｙ，ｚのうち少なくとも１つは１に等しい