質問<3030>2006/3/15
<2239>、<2339>で出ている(2)の 4数から成る集合Bが乗法と除法に関して閉じていれば,B=Aであることを証明せよ。 が相変わらずわかりません。自分でも重症だと悩んでます。 0は含まれず、1は含むはいいのですが、その先、 1≦q-p≦k-2<k の式からいきなりk≦4 でなければなりませんとなってますが、そこが何故・・・・・ となやんでます。 これはb≠1が仮定されているので、4数のひとつがb^k=1となるときの最小が k=2で あったのだが、それよりも小さい値q-pがあらわれた、故にq-p=2≦k-2で整理して 4≦kということでしょうか・・・?(自信ないです・・・) しかし解答には4≧kとありますし・・・・わかる方いませんか? また、 「このことから,B は 1位 の数 1 を必ず含み, 残りの数としては 2位 の数 -1, 3位 の数 w, w^2 (w, w^2 は z^3=1 の虚数解,特に z^2+z+1=0 の2解), 4位 の数 ±i のうちのいずれか 3 つを含みます。」 のくだり、これは b=1 b^2=1 b^3=1 b^4=1 のbの値を考えたということですか? ★希望★完全解答★
お便り2006/3/18
from=wakky
<質問2614>を見てください。
お便り2006/3/30
from=KINO
Q1. 『その先、 1≦q-p≦k-2<k の式からいきなりk≦4 でなければなりませんとなってますが、そこが何故・・・・・ となやんでます。』 A1. お悩みの箇所では,まず 1, b, b^2, ..., b^(k-1) という k 個の数が全て異なること を示しました。 また,集合 B が乗法について閉じていることから,これら k 個の数は全て B に属し ていなければなりません。 ところが,そもそも B の要素は 4 つでなければならないので, k は最大でも 4 まで,ということがになります。 これが,k≦4 という不等式が出てきた理由です。 このようなことを一言解答中で断っておくべきでした。 悩ませてしまってすみません。 Q2. 『また、 「このことから,B は 1位 の数 1 を必ず含み, 残りの数としては 2位 の数 -1, 3位 の数 w, w^2 (w, w^2 は z^3=1 の虚数解,特に z^2+z+1=0 の2解), 4位 の数 ±i のうちのいずれか 3 つを含みます。」 のくだり、これは b=1 b^2=1 b^3=1 b^4=1 のbの値を考えたということですか?』 A2. その通りです。 追記 wakkyさんが参照された<質問2614>のたなかさんの御解答は証明になっていません。 なぜなら,4つの数からなり,乗法について閉じている集合が A 以外にないということ も示さなくてはなりませんが,そのことには一切触れてありません。 また,2乗して 1 になる数や,2乗して -1 になる数が,なぜ B に属していなければな らないのか,理由がわかりませんので,この点も気がかりです。