質問＜３１０２＞２００６／４／１７
from=say
「図形の面積」

難しく解けません・・・。
どなたか教えてください。

ｒ＝５sinθの内側でｒ＝３の外側にできる面積を求めなさい。

ｒ＝8sinθの内側でr＝3の外側にできる面積を求めなさい。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２０
from=ZELDA

r=asinθ(a＞3)とr=3よりrを消去した方程式の解をβとする。
ただし、β ＜ π/2 とする。
よって、β=arcsin(3/a)・・・・・・(イ)
r=asinθより内側で、r=3の外側にできる図形の面積Sとすると、
S=(第1象限の部分の面積)*4
よって、
S=4∫[β,π/2](1/2)(sinθ)^2dθ-π*3^2*(π/2-β)/(2π)
=(1/2)[π(a^2)-2(a^2)β+6√(a^2-9)-18π+36β]
=(1/2)[π(a^2)-2(a^2)arcsin(3/a)+6√(a^2-9)+36arcsin(3/a)-18π]・・・・(ロ）
    [(イ）より]

(1)　　(ロ）でa=5とすると
S=(1/2)[7π+24-14arcsin(3/5)]

(2)  　(ロ)でa=8とすると
S=23π+3√(55)-46arcsin(3/8)