質問<3109>2006/4/20
三角形ABCにおいて,AB=4,BC=6,CA=5,cosA=1/8とする。 点Aから辺BCに垂線を下ろし,辺BCとの交点をDとし, 三角形ABDの外接円Kと辺ACとのA以外の交点をEとする。 (1)AEの長さを求めよ。 (2)円Kの中心をOとする。 線分CE上に点Pをとり,線分OPと円Kとの交点をQとする。 三角形AOPの面積が三角形ABCの面積の1/3倍となるとき, 線分PQの長さを求めよ。 ★希望★完全解答★
お便り2006/4/23
from=wakky
(1) △ABDは∠ADB=90°の直角三角形だから 2点A,Bは外接円Kの直径の両端である。(∵円周角) また、△AEBも∠AEB=90°の直角三角形 △BECも∠BEC=90°の直角三角形である。 AE=aとおくと、EC=5-a EB=bとおくと △AEBにおいて三平方の定理から AE^2+EB^2=AB^2より a^2+b^2=16・・・① △BECにおいて三平方の定理から EC^2+EB^2=BC^2より (5-a)^2+b^2=36・・・② ①②よりa=1/2 ∴AE=1/2・・・(答) (2) ∠Aは三角形の内角だから 0°<∠A<180° また、cosA=1/8だから 0°<∠A<90° よって、sinA>0 したがって sinA=√(1-cos^2A)=(3√7)/8 △ABC=(1/2)AB・AC・sinA=(15√7)/4 △AOP=(1/3)△ABC=(5√7)/4 2点A,Bは外接円Kの直径の両端だから AO=2 OQは外接円Kの半径に等しいから OQ=2 よって △AOP=(1/2)AO・AP・sinA =AP・(3√7)/8=(5√7)/4 ∴AP=10/3 △AOPを余弦定理から OP^2=AO^2+AP^2-2AO・AP・cosA =121/9 ∴OP=11/3 PQ=OP-2=5/3・・・(答)