質問

三角形ABCにおいて,AB=4,BC=6,CA=5,cosA=1/8とする。
点Aから辺BCに垂線を下ろし,辺BCとの交点をDとし,
三角形ABDの外接円Kと辺ACとのA以外の交点をEとする。
（1）AEの長さを求めよ。
（2）円Kの中心をOとする。
　　線分CE上に点Pをとり,線分OPと円Kとの交点をQとする。
　　三角形AOPの面積が三角形ABCの面積の1/3倍となるとき,
　　線分PQの長さを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／４／２３
from=wakky

（１）
△ＡＢＤは∠ＡＤＢ＝９０°の直角三角形だから
２点Ａ，Ｂは外接円Ｋの直径の両端である。（∵円周角）
また、△ＡＥＢも∠ＡＥＢ＝９０°の直角三角形
△ＢＥＣも∠ＢＥＣ＝９０°の直角三角形である。
ＡＥ＝ａとおくと、ＥＣ＝５－ａ
ＥＢ＝ｂとおくと
△ＡＥＢにおいて三平方の定理から
ＡＥ^2＋ＥＢ^2＝ＡＢ^2より
ａ^2＋ｂ^2＝１６・・・①
△ＢＥＣにおいて三平方の定理から
ＥＣ^2＋ＥＢ^2＝ＢＣ^2より
（５－ａ）^2＋ｂ^2＝３６・・・②
①②よりａ＝１／２
∴ＡＥ＝１／２・・・（答）

（２）
∠Ａは三角形の内角だから
０°＜∠Ａ＜１８０°
また、ｃｏｓＡ＝１／８だから
０°＜∠Ａ＜９０°
よって、ｓｉｎＡ＞０
したがって
ｓｉｎＡ＝√（１－ｃｏｓ^2Ａ）＝（３√７）／８
△ＡＢＣ＝（１／２）ＡＢ・ＡＣ・ｓｉｎＡ＝（１５√７）／４
△ＡＯＰ＝（１／３）△ＡＢＣ＝（５√７）／４
２点Ａ，Ｂは外接円Ｋの直径の両端だから
ＡＯ＝２
ＯＱは外接円Ｋの半径に等しいから
ＯＱ＝２
よって
△ＡＯＰ＝（１／２）ＡＯ・ＡＰ・ｓｉｎＡ
　　　　＝ＡＰ・（３√７）／８＝（５√７）／４
∴ＡＰ＝１０／３
△ＡＯＰを余弦定理から
ＯＰ^2＝ＡＯ^2＋ＡＰ^2－２ＡＯ・ＡＰ・ｃｏｓＡ
　　　＝１２１／９
∴ＯＰ＝１１／３
ＰＱ＝ＯＰ－２＝５／３・・・（答）