質問<3130>2006/4/28
曲線y=e^(-x)と直線y=ax+3(a<0)とが囲む図形の面積を最小にするaの値を求めよ。 曲線と直線の交点が求まらないのにどうすればよいのでしょうか? 2つの交点のx座標をs,tとおいて、これらの関係式からs,tを消去することもできそう にありませんでした。 ただ、曲線と直線の交点をA,B(Bのほうがx座標が大きい)として、 直線とy軸との交点をCとした場合にAC=BCとなる場合に面積は最小になりそうです。 このときのaの値は, √2/log[(√2)-1] になります。 どなたか、御教授ください。お願いします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/5/6
from=UnderBird
お便り2006/9/11
from=平 昭
こんにちは。 すでに出ている回答は、いわゆる「はみ出し削り論法」による見事なもので、 感心しました。(0、3)を中心にして対称な曲線を持ってくる、という閃きがすごい。 私は閃かなかったので、地道にやってみました。 ところで、今の高校生は、極座標表示による積分で面積を出す方法、というのを習って いるのでしょうか。これを知らないと、ちょっと難しい問題かと思います。 【回答】 直線y=ax+3(a<0)を、y=tanθx+3(π/2<θ<π)と表し、 この直線と曲線y=e^(-x)との交点をそれぞれ、 A(rcosθ、rsinθ+3)、 B(rcos(θ+π)、rsin(θ+π)+3) とおく。ここで、rはθの関数r(θ)であり、r>0とする。θの範囲より、 Aは第二象限、Bは第四象限の点となる。 (図を描くと分かりやすいのですが、私には パソコン上で図が描けませんm(__)m。 これはつまり、点(0、3)を中心とした極座標表示です。) この時、求める面積をS=S(θ)とすると、 2S(θ)=∫r(φ)^2dφ (積分区間がθから(θ+π)までの定積分)と書ける、、、★ (これも図があると分かりやすいのですが、 AからBまで左回りに180度回って積分するわけです。) これより 2dS/dθ=r(θ+π)^2-r(θ)^2 ={r(θ+π)-r(θ)}{r(θ+π)+r(θ)}となる ここで、A、Bのy座標を考えれば A、Bはy=e^(-x)上の点でもあることより、 r(θ)sinθ+3=e^(-rcosθ) r(θ)={e^(-rcosθ)-3 }/sinθ r(θ+π)・sin(θ+π)+3=e^(-rcos(θ+π)) r(θ+π)={e^(rcosθ)-3 }/-sinθ よって、e^(-rcosθ)=Yとおけば 2dS/dθ=-(Y+1/Y-6)(Y-1/Y)/(sinθ)^2 =-(Y^2-6Y+1)(Y^2-1)/Y^4・(sinθ)^2 =-{Y-(3+2√2)}{Y-(3-2√2)}(Y^2-1)/Y^4・(sinθ)^2 ここで、Yは交点Aのy座標であり π/2<θ<πの時、Y>3 (図を考えれば明らか(^_^;)) またこの時、sinθ>0である。 よって、dS/dθは Y<(3+2√2)で正 Y=(3+2√2)で0 Y>(3+2√2)で負 となる。 また図より、θがπ/2<θ<πで増加するとき、Yは単調に減少する。 (厳密に言えば、ここも証明が要りそうです。) だからdS/dθは、 αを、e^(-rcosα)=3+2√2を満たす値として θ<αで負、θ=αで0、θ>αで正となる。 (増減表を書きたいのですが、これもパソコン上では描けませんm(__)m) これらより、S(θ)はθ=αで最小値をとる。 この時、a=tanα=rsinα/rcosα ={e^(-rcosα)-3}/rcosα そして、e^(-rcosα)=3+2√2より rcosα=log(1/( 3+2√2))=log(3-2√2) よって求めるaの値は2√2/log(3-2√2) (終わり) ★2S(θ)=∫r(φ)^2dφ (積分区間がθから(θ+π)までの定積分)と書ける これは、極座標形式での面積計算の基本となる式です。 xy平面において、(x、y)=(rcosθ、rsinθ)となるように極座標を取るとき、 方程式:r=r(θ)で表される曲線のうち、 α≦θ≦β(0≦α<β<2πとします) に対応する部分と、 座標の原点Oを始点として、θ方向に伸びる=つまり、Oから無限遠点に向かう方向が、 エックス軸の正方向から左回りにみて角θをなす= 2本の半直線 L1:θ=α L2:θ=β で囲まれる図形の面積をSとすると 2S(θ)=∫r(θ)^2dθ (積分区間がαからβまでの定積分)=積分 となります。これは、2本の半直線 L(φ):θ=φ と L(φ+dφ):θ=φ+dφ 及び方程式:r=r(θ)で表される曲線のうち、 φ≦θ≦φ+dφに対応する部分とで囲まれた部分の面積を、 半径r(φ)、中心角dφの扇形の面積で近似し、 和をとっていることに相当します。