質問＜３２１５＞２００６／５／３１
from=鰯
「曲線」

Oを原点とするxy平面で２つの直線L_1:y＝x/a,L_2:y＝－x/a（ただし、aは正の定数
とする）を考える。次の問に答えよ。
（１）L_1,L_2を漸近線とし、点(1,0)を通る双曲線の焦点の１つをF_1(f,0)とする
とき、fをaを用いて表せ。ただし、f＞1とする。
（２）F_1を通りL_1に垂直な直線がL_1と交わる点をP、y軸と交わる点をQとする。
更にPでL_1に接し、y軸を軸とする放物線の焦点をF_2とする。このとき、F_2は
線分OQの中点であることを示せ。
（３）△OF_1F_2の面積が最小になるようなaを求めよ。

★希望★完全解答★

お便り２００６／６／４
from=wakky

(1)
双曲線の方程式は
x^2－y^2/(1/a)^2＝１だから
f＝±√{1＋(1/a)^2}＝±√(a^2＋1)/a
f＞1より
f＝√(a^2＋1)/a・・・（答）

(2)
これは、もっと良い解答があるのかもしれませんが・・
点F1を通り直線L1に垂直な直線をL3とすると
L3の方程式は
y＝－ax＋bとおける
これがF1を通るから
b＝√(a^2＋1)
従って、L3の方程式は
y＝－ax＋√(a^2＋1)
（途中計算省略します）
よって
点Qの座標は(0,√(a^2＋1)）
点Pの座標はL1とL3の交点より
P(a/√(a^2＋1),1/√(a^2＋1))
今、点F2の座標を(0,c)とし、
放物線の頂点の座標を(0,d)とすると
放物線の方程式は
x^2＝4(c-d)(y-d)　とおける
yについて整理して微分すると
y'＝x/{2(c-d)}
点Pにおける接線L1の傾きが1/aだから
c－d＝a^2/{2√(a^2＋1)}・・・①
また、放物線は点Pを通るから
d＝1/{2√(a^2＋1)}・・・②
①②より
c＝√(a^2＋1)/2
よって、F2(0,√(a^2＋1)/2)となって
F2は線分OQの中点であることが示された。

(3)
△OF1F2の面積をS(a)とすると
S(a)＝(1/2)・{√(a^2＋1)/a}・{√(a^2＋1)/2}
　　＝(a^2＋1)/(4a)
　　＝(a/4)＋1/(4a)
a＞0だから、相加平均と相乗平均の関係から
S(a)＝(a/4)＋1/(4a)≧2√{(a/4)･1/(4a)}＝1/2
等号が成り立つのは
(a/4)＝1/(4a)のときだから、a>0よりa＝1
以上から
S(a)はa＝1のとき最小値1/2をとる。・・・（答）