質問<3241>2006/6/11
(logX)^2のn次導関数は? logl1-X^2lのn次導関数は? ★完全解答希望★
お便り2006/6/14
from=亀田馬志
ふ~ん・・・・・これ結構面白い問題かもしれませんね。 まあ、いいや。フリー数式処理ソフトMAXIMAをダウンロードして下さい。 これを使ってみましょう。 MAXIMAダウンロード後、デスクトップ上のアイコンをダブルクリックすると次のような 画面が現れます。 Maxima 5.9.3 http://maxima.sourceforge.net Using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL 2.6.7 (aka GCL) Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING. Dedicated to the memory of William Schelter. This is a development version of Maxima. The function bug_report() provides bug reporting information. (%i1) これでMAXIMA起動成功です。 (%i1)ってのが「入力待ち」と言った意味です(恐らくinput"入力”その1、って意味です)。 ここに数式を入力するのが使い方です。 さて、微分コマンドですが、微分命令の書式は diff(微分したい関数、微分する変数); と;(セミコロン)まで入力します。ちょっとやっていってみましょう。 >(logX)^2のn次導関数は? (%i1)の後に次のように入力します。 (%i1) diff((log(x))^2,x); そしてリターンキーを押すと次のように出力されます。 2 log(x) (%o1) -------- x (%o1)が出力で(恐らくoutput"出力"その1、って意味でしょう)、計算結果が表示されます。 1階微分の答えは2logx/xのようですね。 もう一回微分してみましょう。今度は次のように(%i2)の後に入力します。基本は同じです。 (%i2) diff(%o1,x); 今度の入力は数式の代わりに%o1と打っています。これは、前出力(%o1)を参照しろ、って 命令です。2階微分は1階微分を微分したものなんで、前出力を参照させたほうが面倒が 無いワケです。 リターンキーを押すと次のような結果になります。 2 2 log(x) (%o2) -- - -------- 2 2 x x ちょっと見辛い表示でビックリするかもしれませんが(笑)、 2階微分は2/(x^2)-2log(x)/(x^2)のようですね。 またもや同様の作業を繰り返します。 (%i3) diff(%o2,x); ・・・・・・・さて、5回も繰り返せば「何らかの規則性」も見えてくるんではないでしょうか? 試してみて下さい。 後は、数学的帰納法ででも証明すれば完璧でしょう。 >logl1-X^2lのn次導関数は? これもネタは同じですね。まずはMAXIMAに計算させてみましょう。 参考文献: MAXIMA日本語マニュアル MAXIMAの手引き Maxima入門ノート
お便り2006/6/17
from=ZELDA
2つの問題のうち最初の問題だけですが、できました。 f(x)=(logx)^2とおく。 このとき、fn(x)はf(x)の第n次導関数を表すものとする。 f1(x)=(2logx)/x であり、f2(x),f3(x)も計算すると fn(x)={a(n)+b(n)logx}/(x^n) とかけると推測できる。 いま、このことを数学的帰納法により証明する。 (1) n=1 のとき明らか。 a(1)=0,b(1)=2 (2) あるnに対して推測が正しいと仮定すると fn+1(x)=[{b(n)-na(n)}+{-nb(n)}logx]/{x^(n+1)} となる。 a(n+1)=b(n)-na(n)・・・(A) b(n+1)=-nb(n+1)・・・・(B) とすれば、よい。 (1),(2)より、推測は正しい。 漸化式(B)を繰り返し用いて b(n)=(-1)(n-1)b(n-1) =(-1)(n-1)(-1)(n-2)b(n-2) =(-1)(n-1)(-1)(n-2)・・・(-1)1b(1) =2{(-1)^(n-1)}(n-1)! これを、漸化式(A)に代入して、 a(n+1)=2{(-1)^(n-1)}(n-1)! -na(n) この式の両辺を n!{(-1)^n}で割ると a(n+1)/[n!{(-1)^n}]=-2/n -a(n)/[(n-1)!{(-1)^n}] =-2/n +a(n)/[(n-1)!{(-1)^(n-1)}] これを繰り返し用いて a(n)/[(n-1)!{(-1)^(n-1)}] =-2∑[k=1,n-1](1/k) +a(1) =-2∑[k=1,n-1](1/k) (n≧2) ゆえに、 n≧2のとき、 a(n)=2{(-1)^n}(n-1)!∑[k=1,n-1](1/k) n=1のとき a(1)=0 以上から、 fn(x)=[a(n)+b(n)logx]/(x^n) ただし、 n≧2のとき、 a(n)=2{(-1)^n}(n-1)!∑[k=1,n-1](1/k) n=1のとき a(1)=0 b(n)=2{(-1)^(n-1)}(n-1)! もう1問は、むずかしくてさっぱり分かりません。