質問＜３２５９＞2006/6/21
from=おばさま
「2次関数」

初めて質問させていただきます。宜しく御願い致します。
Q1：2点(3,1)(6,4)を通りｘ軸に接している。
Q2：y=(x^2+2x+2)(x^2+2x+3)+3x^2+6x+5の最小値とxの値
です。

★完全解答希望★

お便り２００６／６／２２
from=ZELDA

Q1は問題の意味がよくわからないので、Q2のみ解きました。

(解答)
t=(x^2)+(2x)+2　とおく。
 =(x+1)^2+1
 ≧1      
(等号成立はx=-1)

y=t(t+1)+3t-1
 =(t+2)^2-5
 ≧4
(等号はt=1　すなわち　x=-1)
ゆえに、x=-1のとき、最小値4

お便り２００６／６／２２
from=亀田馬志

では僕はQ1の方を。

＞ｘ軸に接している

一般に、二次関数

y＝a*x^2+b*x+c･･････①

が｢ｘ軸に接している｣とは二次方程式

a*x^2+b*x+c＝0

が｢ただ一つの解を持つ｣と言うのと同値です。
もしくは｢xが重解を持つ｣と言うのと同じです。

｢xが重解を持つ｣のは判別式Dが

D＝b^2－4*a*c＝0

になればイイわけです。最終的にこのカタチに持ち込むのがこの問題を解くポイントです。

＞2点(3,1)(6,4)を通り

この条件を①にぶち込みます。

９*a＋３*b＋c＝１･･････②
36*a＋６*b＋c＝４･･････③

この②、③は2元連立方程式なんですが、未知数がa、b、c、と3つ、式は2つなんでこのままでは解けない感じです。
が、ここでは構わず、｢掃き出し法｣(Gaussian Elimination)と言った方法で解いてみたいと思います
上記②、③を係数行列表記すると、

												
	|	
	9	
	3	
	1	
	1	
	|	
	|	
	36	
	6	
	1	
	4	
	|	
										
第1行を9で割り、第2行を36で割ります。

												
	|	
	1	
	1/3	
	1/9	
	1/9	
	|	
	|	
	1	
	1/6	
	1/36	
	1/9	
	|	
										
第2行から第1行を引きます		
		
												
	|	
	1	
	1/3	
	1/9	
	1/9	
	|	
	|	
	0	
	-1/6	
	-1/12	
	0	
	|	
										

第2行に2をかけます。

												
	|	
	1	
	1/3	
	1/9	
	1/9	
	|	
	|	
	0	
	-1/3	
	-1/6	
	0	
	|	
												
第2行を第1行に足します。

												
	|	
	1	
	0	
	-1/18	
	1/9	
	|	
	|	
	0	
	-1/3	
	-1/6	
	0	
	|	
										
上の計算により、

a－c/18＝	1/9
－b/3－c/6＝0

∴a＝(c＋2)/18
b＝－c/2

となります。
つまり、a、b、はcをパラメータとした変数として考えられるのですね。
そして、ここで求めたa、b、c、の関係式が、

ｘ軸に接している⇔	判別式D＝0
		
を満たせばイイわけです。

b^2－4*a*c＝(－c/2)^2－4*(c＋2)/18*c＝0

これを解くと、

c＝0または16

となります。
つまり解となる二次関数は二つ存在し、

y＝1/9*x^2
y＝x^2－8*x＋16

となります。
以上です。