質問<3279>2006/7/1
1/√2+1/√3+1/√4+1/√5+1/√6+1/√7+1/√8+1/√9+1/√10の整数部分を求めよ。 また1/√2+1/√3・・・1/√999+1/√1000の整数部分を求めよ。 よろしくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/8/10
from=KINO
m<n なる自然数 m, n に対し, S(m,n)=1/√m+1/√(m+1)+...+1/√n と書くことにします。 電卓を使ってよいのなら,電卓で求めてみた結果,操作に間違いがなければ 1/√2+1/√3+1/√4+1/√5+1/√6+1/√7+1/√8+1/√9+1/√10=4.0209975... ですので,整数部分は 4 です。 感覚的には「ぎりぎり 4」といったところで,かなりきわどいところですね。 また,定積分の不等式への応用の仕方を知っているならば,S(2,1000) の整数部分を 次のように調べることができます。 自然数 n に対し,実数 x が n≦x<n+1 の範囲にあれば, √n≦√x<√(n+1) なので,これから 1/√(n+1)<1/√x≦1/√n となります。 この両辺を x について n から n+1 まで積分すると 1/√(n+1)<∫[n,n+1]dx/√x≦1/√n となり,真ん中の積分は ∫[n,n+1]dx/√x=2(√(n+1)-√n) なので, 1/√(n+1)<2(√(n+1)-√n)≦1/√n という不等式を得ます。 さて,1/√(n+1)<2(√(n+1)-√n) の両辺を n=10 から 999 まで辺々加え合わせれば S(11,1000)<2(√1000-√10)=18√10=56.920... となります。(ここでも √10 の値を電卓で求めています。) 一方,2(√(n+1)-√n)≦1/√n の両辺を n=11 から n=1000 まで辺々足し合わせると 56.643...=2(√1001-√11)≦S(11,1000) となります。以上により, 56.64<S(11,1000)<56.93 という不等式を得て, これと S(2,10)=4.0209... から得られる 4.02<S(2,10)<4.03 を併せると,S(2,1000)=S(2,10)+S(11,1000) という関係から 60.66=56.64+4.02<S(2,1000)<56.93+4.03=60.96 という不等式を得て, S(2,1000) の整数部分は 60 という結論を得ます。 こちらも,近似の仕方が不十分なため整数部分が 61 になりかねない微妙なところでの きわどい判断となりました。