質問＜３２７９＞２００６／７／１
from=地蔵
「無理数に関して」

1/√2+1/√3+1/√4+1/√5+1/√6+1/√7+1/√8+1/√9+1/√10の整数部分を求めよ。
また1/√2+1/√3・・・1/√999+1/√1000の整数部分を求めよ。
よろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／１０
from=KINO

m＜n なる自然数 m, n に対し，

S(m,n)=1/√m+1/√(m+1)+...+1/√n

と書くことにします。

電卓を使ってよいのなら，電卓で求めてみた結果，操作に間違いがなければ

1/√2+1/√3+1/√4+1/√5+1/√6+1/√7+1/√8+1/√9+1/√10=4.0209975...

ですので，整数部分は 4 です。
感覚的には「ぎりぎり 4」といったところで，かなりきわどいところですね。

また，定積分の不等式への応用の仕方を知っているならば，S(2,1000) の整数部分を
次のように調べることができます。
自然数 n に対し，実数 x が n≦x＜n+1 の範囲にあれば，

√n≦√x＜√(n+1)

なので，これから

1/√(n+1)＜1/√x≦1/√n

となります。
この両辺を x について n から n+1 まで積分すると

1/√(n+1)＜∫[n,n+1]dx/√x≦1/√n

となり，真ん中の積分は

∫[n,n+1]dx/√x=2(√(n+1)-√n)

なので，

1/√(n+1)＜2(√(n+1)-√n)≦1/√n

という不等式を得ます。

さて，1/√(n+1)＜2(√(n+1)-√n) の両辺を n=10 から 999 まで辺々加え合わせれば

S(11,1000)＜2(√1000-√10)=18√10=56.920...

となります。（ここでも √10 の値を電卓で求めています。）

一方，2(√(n+1)-√n)≦1/√n の両辺を n=11 から n=1000 まで辺々足し合わせると

56.643...=2(√1001-√11)≦S(11,1000)

となります。以上により，

56.64＜S(11,1000)＜56.93

という不等式を得て，
これと S(2,10)=4.0209... から得られる

4.02＜S(2,10)＜4.03

を併せると，S(2,1000)=S(2,10)+S(11,1000) という関係から

60.66=56.64+4.02＜S(2,1000)＜56.93+4.03=60.96

という不等式を得て，

S(2,1000) の整数部分は 60 という結論を得ます。

こちらも，近似の仕方が不十分なため整数部分が 61 になりかねない微妙なところでの
きわどい判断となりました。