質問＜３３２２＞２００６／８／１４
from=鰯
「確率」

箱に１から９までの番号がついた９つの玉が入っている。
それらをよく混ぜて箱から１つずつ順に全部取り出し、
取り出した順に新しく１から９までの番号をつける。
このとき、新しくつけられる番号が最初につけられていた番号と
一致する玉の個数がちょうど５つになる確率を求めよ。
ただし、１度取り出した玉は戻さない。

よろしくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／８／１５
from=μG

9つの玉の取り出し方は　9P9通り。
9つの玉のうち、番号が一致する5つの選び方は　9C5通り。
　各々について残りの4つの取り出し方は　4P4通り。
　このときこの4つは番号が一致してはならない。
　すなわち、次の4つの場合を除けばよい。
　　(i)4つとも番号が一致する　4C4 = 1　　　∴1通り。
　　(ii)3つ一致、すなわち1つだけ番号が不一致　起こりえない　　　∴0通り
　　(iii)2つ一致(4C2通り)、残りの2個は不一致
　　　　ここで2個の番号が不一致であるのは、2個の取り出し方　2P2通りのうち、
　　　　2個とも一致した場合(2C2通り)　を除いたもの
　　　　すなわち　2P2 － 2C2 = 2 － 1 =1　　　1通り
　　　ゆえに、4C2 *(2P2 － 2C2) = 6*1 = 6　　　∴6通り
　　(iv)1つ一致(4C1通り)、残りの3個は不一致
　　　　ここで3個の番号が不一致であるのは、3個の取り出し方　3P3通りのうち、
　　　　次の2つの場合を除いたもの
　　　　①　3個とも一致した場合(3C3通り)
　　　　②　1つ一致(3C1通り)、残りの2個は不一致
　　　　　ここで2個の番号が不一致であるのは、2個の取り出し方　2P2通りのうち、
　　　　　2個とも一致した場合(2C2通り)　を除いたもの
　　　　　すなわち　2P2 － 2C2 = 1
　　　　　よって　3C1*1通り
　　　　すなわち　3P3 － (3C3 + 3C1)
　　　ゆえに、4C1 *{3P3 － (3C3 + 3C1)} = 4*{6 － (1 + 3)} = 4*2 = 8
　　　∴8通り
　以上(i)～(iv)より、4つとも番号が一致しない取り出し方は
　4P4 － {1 + 0 + 6 + 8} = 24 － 15 = 9　　　9通り
番号が一致する玉の個数がちょうど５つになる確率は
　9C5 * 9 / 9P9 = 1/320