質問＜３３５９＞２００６／９／３
from=なおひ
「大学受験問題（図形と方程式）」

座標平面上の点Ａの座標を（0，4/5）とする。２点Ｂ，Ｃは円x^2+y^2=1上を動き、
線分ＢＣは点Ａを通るものとする。ただし、点Ｂのx座標は正、点Ｃのy座標は負である
ものとする。更に、２点Ｂ，Ｃを通る直線の傾きをｍとする。また，点Ｄの座標を
（0,-1）とする。
①　三角形ＢＣＤの面積Ｓ(m)を求めよ。
②　①で求めたＳ(m)をの最大値を求めよ。

が、解りません。文系数学の問題です。宜しくお願いします。

★完全解答希望★

お便り２００６／１０／７
from=主夫

完全解答にいたらないのですが，未解決問題の方に移ったのであえて解答してみます。
解答にいたらない原因として，計算ミスをしているor他の解法が存在する(文系の範囲
というのがネック)のどちらかだと思いますが，検証できませんのでご容赦ください。

（１）
Ｂ，Ｃを通る直線は，y=mx+4/5 だから，
B(α,mα+4/5),C(β,mβ+4/5)とおける。(α＞β)
△BCDにおいて，BCを底辺とすれば，その三角形の高さは，
点D(0,-1)と直線BCつまりy=mx+4/5の距離dに等しい。
つまり
S(m)=d・BC/2

まずdを求める。
点と直線の距離の公式を用いて，
d
=l0+1+4/5l/√(m^2+1)
=9/{5√(m^2+1)}

次に，
BC^2
=(α-β)^2+{(mα+4/5)-(mβ+4/5)}^2
=(m^2+1)(α-β)^2
よって
BC
=(α-β)√(m^2+1)　(∵α＞β)
ここでα，βはx^2+y^2=1とy=mx+4/5の解であることから，
x^2+(mx+4/5)^2=1
(m^2+1)x^2+(8m/5)x-9/25=0 において，
解と係数の関係から
α+β=-(8m/5)/(m^2+1)
αβ=-(9/25)/(m^2+1)を満たす。
よって
α-β
=√{(α+β)^2-4αβ}
=√[{-(8m/5)/(m^2+1)}^2-4*{-(9/25)/(m^2+1)}]
=…  　　この辺が一番怪しいのですが…
={2√(25m^2+9)}/{5(m^2+1)}

BC
=(α-β)√(m^2+1)　に代入して
={2√(25m^2+9)}/{5(m^2+1)}*√(m^2+1)
={2√(25m^2+9)}/{5√(m^2+1)}

以上のものを
S(m)=d・BC/2  に代入して
S(m)
=[9/{5√(m^2+1)}]*[{2√(25m^2+9)}/{5√(m^2+1)}]/2
={9√(25m^2+9)}/{25(m^2+1)}


（２）
点Ｂのx座標は正、点Ｃのy座標は負だから，
mが最小となるのは，A(0,4/5)とD(-1,0)を通るときである。
つまり
m≧4/5
この範囲において，（１）で得られた答えを微分して最小値を求めればよい。

…のですが，文系レベルでは，この微分ができません。
以上お力になれず申し訳ありません。他の優秀な解答者の方をお待ちください。