質問<3359>2006/9/3
座標平面上の点Aの座標を(0,4/5)とする。2点B,Cは円x^2+y^2=1上を動き、 線分BCは点Aを通るものとする。ただし、点Bのx座標は正、点Cのy座標は負である ものとする。更に、2点B,Cを通る直線の傾きをmとする。また,点Dの座標を (0,-1)とする。 ① 三角形BCDの面積S(m)を求めよ。 ② ①で求めたS(m)をの最大値を求めよ。 が、解りません。文系数学の問題です。宜しくお願いします。 ★完全解答希望★
お便り2006/10/7
from=主夫
完全解答にいたらないのですが,未解決問題の方に移ったのであえて解答してみます。 解答にいたらない原因として,計算ミスをしているor他の解法が存在する(文系の範囲 というのがネック)のどちらかだと思いますが,検証できませんのでご容赦ください。 (1) B,Cを通る直線は,y=mx+4/5 だから, B(α,mα+4/5),C(β,mβ+4/5)とおける。(α>β) △BCDにおいて,BCを底辺とすれば,その三角形の高さは, 点D(0,-1)と直線BCつまりy=mx+4/5の距離dに等しい。 つまり S(m)=d・BC/2 まずdを求める。 点と直線の距離の公式を用いて, d =l0+1+4/5l/√(m^2+1) =9/{5√(m^2+1)} 次に, BC^2 =(α-β)^2+{(mα+4/5)-(mβ+4/5)}^2 =(m^2+1)(α-β)^2 よって BC =(α-β)√(m^2+1) (∵α>β) ここでα,βはx^2+y^2=1とy=mx+4/5の解であることから, x^2+(mx+4/5)^2=1 (m^2+1)x^2+(8m/5)x-9/25=0 において, 解と係数の関係から α+β=-(8m/5)/(m^2+1) αβ=-(9/25)/(m^2+1)を満たす。 よって α-β =√{(α+β)^2-4αβ} =√[{-(8m/5)/(m^2+1)}^2-4*{-(9/25)/(m^2+1)}] =… この辺が一番怪しいのですが… ={2√(25m^2+9)}/{5(m^2+1)} BC =(α-β)√(m^2+1) に代入して ={2√(25m^2+9)}/{5(m^2+1)}*√(m^2+1) ={2√(25m^2+9)}/{5√(m^2+1)} 以上のものを S(m)=d・BC/2 に代入して S(m) =[9/{5√(m^2+1)}]*[{2√(25m^2+9)}/{5√(m^2+1)}]/2 ={9√(25m^2+9)}/{25(m^2+1)} (2) 点Bのx座標は正、点Cのy座標は負だから, mが最小となるのは,A(0,4/5)とD(-1,0)を通るときである。 つまり m≧4/5 この範囲において,(1)で得られた答えを微分して最小値を求めればよい。 …のですが,文系レベルでは,この微分ができません。 以上お力になれず申し訳ありません。他の優秀な解答者の方をお待ちください。