質問<3371>2006/9/11
mが3以上の自然数のとき, 0以上1以下で分母がmである既約分数の和は必ず整数になりますか? ★完全解答希望★
お便り2006/9/12
from=wakky
0以上1以下は 0より大きく1より小さい・・・かな? m=3のとき (1/3)+(2/3)=1 m=4 (1/4)+(3/4)=1 m=5 (1/5)+(2/5)+(3/5)+(4/5)=2 ・・・・・・・・ m=10 (1/10)+(3/10)+(7/10)+(9/10)=2 どうやら整数になりそうですね 代数学の世界になりそうです。 証明は考え中ですが・・できていません。 どなたか、お願いいたします。
お便り2006/9/16
from=UnderBird
分母mが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える。 次の場合を参考にしてください。 ・分母が奇数の場合・・・1/mから(m-1)/mまで書く 1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7 項数は偶数個で両端からの和は1になる(注目)。 (1/7と7/6,2/7と5/7,3/7と4/7の組で考える) この2組の分数はn/mと(m-n)/mと表せて、 「n/mが可約(約分できる)ならば(m-n)/mも可約である」は明らか。 (n=kn',m=km'とおけばよい) よって、その対偶として、 「n/mが既約ならば(m-n)/mも既約である」も成り立つ。 よって、既約である組の和だから整数になる。 ・分母が偶数の場合も同様に、 1/8,2/8,3/8,4/8,5/8,6/8,7/8 項数は奇数個で、真ん中の項4/8を除いて、両端からの和はやはり1になる。 そして、真ん中の項は(m/2)/m=1/2と必ず可約であるから、和の候補には入らない。 (mは3以上の自然数という仮定がここで使われる) 以上から証明された。 あとは、厳密に証明すれば良いと思います。 また、代数学の本を見るとオイラー関数というのがありました。参考になるかも。