質問＜３３７１＞２００６／９／１１
from=taik
「既約分数の和」

mが3以上の自然数のとき，
0以上1以下で分母がmである既約分数の和は必ず整数になりますか？

★完全解答希望★

お便り２００６／９／１２
from=wakky

0以上1以下は
0より大きく1より小さい・・・かな？
ｍ＝３のとき
（１／３）＋（２／３）＝１
ｍ＝４
（１／４）＋（３／４）＝１
ｍ＝５
（１／５）＋（２／５）＋（３／５）＋（４／５）＝２
・・・・・・・・
ｍ＝１０
（１／１０）＋（３／１０）＋（７／１０）＋（９／１０）＝２

どうやら整数になりそうですね
代数学の世界になりそうです。
証明は考え中ですが・・できていません。
どなたか、お願いいたします。

お便り２００６／９／１６
from=UnderBird

分母mが偶数の場合と奇数の場合に分けて考える。
次の場合を参考にしてください。
・分母が奇数の場合･･･1/mから(m-1)/mまで書く
　1/7,2/7,3/7,4/7,5/7,6/7
　項数は偶数個で両端からの和は1になる（注目）。
　（1/7と7/6,2/7と5/7,3/7と4/7の組で考える）
　この2組の分数はn/mと(m-n)/mと表せて、
　「n/mが可約（約分できる）ならば(m-n)/mも可約である」は明らか。
　（n=kn',m=km'とおけばよい）
　よって、その対偶として、
　「n/mが既約ならば(m-n)/mも既約である」も成り立つ。
　よって、既約である組の和だから整数になる。
・分母が偶数の場合も同様に、
　1/8,2/8,3/8,4/8,5/8,6/8,7/8
　項数は奇数個で、真ん中の項4/8を除いて、両端からの和はやはり1になる。
　そして、真ん中の項は(m/2)/m=1/2と必ず可約であるから、和の候補には入らない。
　（mは3以上の自然数という仮定がここで使われる）
以上から証明された。

あとは、厳密に証明すれば良いと思います。
また、代数学の本を見るとｵｲﾗｰ関数というのがありました。参考になるかも。