質問＜３４５４＞２００６／１０／３０
from=みな
「ｎ次導関数他」

１、ａ＞０のとき、　平均値の定理を用いて
　　logeａ＋１／ａ＋１　＜loge（ａ＋１）　＜　logeａ＋１／ａ　を示せ。

２、　ｙ＝(ｘ^２‐１)＾ｎ　とおく。このとき
　　（ｘ＾２‐１）ｙ＾（ｎ＋２）＋２ｘｙ＾（ｎ＋１）‐ｎ（ｎ＋１）ｙ＾ｎ　＝　０　
　　　を示せ。
　　　ただし、ｙ＾（ｎ）はｙのｎ次導関数とする。

よろしくおねがいします。　

★希望★完全解答★

お便り２００６／１０／３１
from=S~（社会人）

こんにちは、参加します。ただし、　１、　の問題についてだけです。そして、解答
ではなく一答案としてお読み下さいますよう。

（ 答案 ）
（１）　ｆ（ａ）＝ｌｏｇ（ａ＋１）－[ｌｏｇ（ａ）＋｛１／（ａ＋１）｝]　…　（あ）
＝ｌｏｇ｛（ａ＋１）／ａ｝－｛１／（ａ＋１）｝　とおくと、

（イ）　ｌｉｍ_[a→t]ｆ（ａ）＝ｌｉｍ_[h→0}ｆ（ｔ＋ｈ）
＝ｌｉｍ_[h→0}[ｌｏｇ｛（ｔ＋ｈ＋１）／（ｔ＋ｈ）｝－｛１／（ｔ＋ｈ＋１）｝]
＝ｌｏｇ｛（ｔ＋１）／ｔ｝－｛１／（ｔ＋１）｝
＝ｆ（ｔ）
であるから、　ｆ（ａ）　は　ａ＝ｔ　で連続である。
いま、　ｔ　は　ｔ＞０　で任意であるから　ｆ（ａ）　はすべての　ａ＞０　で連続である。

（ロ）　一方、　ｆ（ａ）　は　（あ）　から　ａ＞０　で　
ｆ′（ａ）＝－１／｛ａ（ａ＋１）^2｝　と微分可能であるから、
区間　（０，∞）　で平均値の定理が成り立つ。

（ハ）　したがって、　０＜ａ１＜ｂ　なる区間　［ａ１，ｂ］　に平均値の定理を適用すると、
｛ｆ（ｂ）－ｆ（ａ１）｝／（ｂ－ａ１）＝ｆ（ｃ１），　ａ１＜ｃ１＜ｂ　を満たす　ｃ１　が
存在する。
いま、　ｆ′（ｃ１）＝－１／｛ｃ１（ｃ１＋１）^2｝＜０　かつ　ｂ－ａ１＞０　
であるから、
ｆ（ｂ）－ｆ（ａ１）＜０　で　ｆ（ａ）　は単調に減少する。
また、　
ｌｉｍ_[a→∞}ｆ（ａ）＝ｌｉｍ_[a→∞}[ｌｏｇ｛１＋（１／ａ）｝－｛１／（ａ＋１）｝]＝０
よって、常に　０＜ｆ（ａ）
これで与式不等式の左半分が言えた。

（２）　同様にして、　ｇ（ａ）＝｛ｌｏｇ（ａ）＋（１／ａ）｝－ｌｏｇ（ａ＋１）
＝ｌｏｇ｛ａ／（ａ＋１）｝＋（１／ａ）　とおくと、
区間　（０，∞）　で　ｇ（ａ）　の連続性と微分可能　ｇ′（ａ）＝－１／｛（ａ
＋１）ａ^2｝＜０　とが示され、区間［ａ２，ｄ］　（ ａ２＞０ ）　で平均値の定
理が成立して、
｛ｇ（ｄ）－ｇ（ａ２）｝／（ｄ－ａ２）＝ｇ′（ｃ２），　ａ２＜ｃ２＜ｄ　を満
たす　ｃ２　が存在する。
いま、　ｇ′（ｃ２）＜０　かつ　ｄ－ａ２＞０　であるから、
常に　ｇ（ｄ）－ｇ（ａ２）＜０　で　ｇ（ａ）　は単調に減少する。
また、　
ｌｉｍ_[a→∞}ｇ（ａ）＝ｌｉｍ_[a→∞}ｌｏｇ[１／｛１＋（１／ａ）｝]＋（１／ａ）＝０
よって、常に　０＜ｇ（ａ）
これで与式不等式の右半分が言えた。

ということでどうでしょうか。

お便り２００６／１１／１
from=S~（社会人）

ｐ．ｓ．こんにちは、補足（ 蛇足？ ）です。

（３）　なお、　ｆ（ａ），ｇ（ａ）　が　ａ＞０　の正の領域での単調減少関数で
あることは、

　ｆ（１）＝ｌｏｇ（２）－（１／２）＝ｌｏｇ（２／√ｅ）＞０
　ｇ（１）＝１－ｌｏｇ（２）＝ｌｏｇ（ｅ／２）＞０

を見れば明らかである。