質問<3454>2006/10/30
1、a>0のとき、 平均値の定理を用いて logea+1/a+1 <loge(a+1) < logea+1/a を示せ。 2、 y=(x^2‐1)^n とおく。このとき (x^2‐1)y^(n+2)+2xy^(n+1)‐n(n+1)y^n = 0 を示せ。 ただし、y^(n)はyのn次導関数とする。 よろしくおねがいします。 ★希望★完全解答★
お便り2006/10/31
from=S~(社会人)
こんにちは、参加します。ただし、 1、 の問題についてだけです。そして、解答 ではなく一答案としてお読み下さいますよう。 ( 答案 ) (1) f(a)=log(a+1)-[log(a)+{1/(a+1)}] … (あ) =log{(a+1)/a}-{1/(a+1)} とおくと、 (イ) lim_[a→t]f(a)=lim_[h→0}f(t+h) =lim_[h→0}[log{(t+h+1)/(t+h)}-{1/(t+h+1)}] =log{(t+1)/t}-{1/(t+1)} =f(t) であるから、 f(a) は a=t で連続である。 いま、 t は t>0 で任意であるから f(a) はすべての a>0 で連続である。 (ロ) 一方、 f(a) は (あ) から a>0 で f′(a)=-1/{a(a+1)^2} と微分可能であるから、 区間 (0,∞) で平均値の定理が成り立つ。 (ハ) したがって、 0<a1<b なる区間 [a1,b] に平均値の定理を適用すると、 {f(b)-f(a1)}/(b-a1)=f(c1), a1<c1<b を満たす c1 が 存在する。 いま、 f′(c1)=-1/{c1(c1+1)^2}<0 かつ b-a1>0 であるから、 f(b)-f(a1)<0 で f(a) は単調に減少する。 また、 lim_[a→∞}f(a)=lim_[a→∞}[log{1+(1/a)}-{1/(a+1)}]=0 よって、常に 0<f(a) これで与式不等式の左半分が言えた。 (2) 同様にして、 g(a)={log(a)+(1/a)}-log(a+1) =log{a/(a+1)}+(1/a) とおくと、 区間 (0,∞) で g(a) の連続性と微分可能 g′(a)=-1/{(a +1)a^2}<0 とが示され、区間[a2,d] ( a2>0 ) で平均値の定 理が成立して、 {g(d)-g(a2)}/(d-a2)=g′(c2), a2<c2<d を満 たす c2 が存在する。 いま、 g′(c2)<0 かつ d-a2>0 であるから、 常に g(d)-g(a2)<0 で g(a) は単調に減少する。 また、 lim_[a→∞}g(a)=lim_[a→∞}log[1/{1+(1/a)}]+(1/a)=0 よって、常に 0<g(a) これで与式不等式の右半分が言えた。 ということでどうでしょうか。
お便り2006/11/1
from=S~(社会人)
p.s.こんにちは、補足( 蛇足? )です。 (3) なお、 f(a),g(a) が a>0 の正の領域での単調減少関数で あることは、 f(1)=log(2)-(1/2)=log(2/√e)>0 g(1)=1-log(2)=log(e/2)>0 を見れば明らかである。